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常數函數

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数学中,常数函数(也称常值函数)是指不发生改变(即是常数)的函数。例如,我们有函数,因为映射任意的值到4,因此是一个常数。更一般地,对一个函数,如果对内所有的,都有,那么,是一个常数函数。其中的常數函數稱為零函數,圖形為x軸;值不為零的常數函數則可稱為零次函數,圖形為一平行x軸的水平線。

请注意,每一个空函数定义域空集的函数)无意义地满足上述定义,因为中没有使不同。然而有些人认为,如果包括空函数的话,那么常数函数将更容易定义。

对于多项式函数,一个非零常数函数称为一个零次多项式。

性质[编辑]

常数函数可以通过与复合函数的关系,从两个途径进行描述。

下面这些是等价的:

  1. 是一个常数函数。
  2. 对所有函数(“”表示复合函数)。
  3. 与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。

上面所给的常数函数的第一个描述,是范畴论常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义,一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到,由于常数函数的值是不变的,它的导函数是零。例如:

  • 如果是一个定义在某一区间变量为实数的实数函数,那么当且仅当导函数恒为零时,是常数。

预序集合间的函数,常数函数是保序倒序的;相反的,如果f既是保序的也是倒序的,如定义域是一个,那么一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括:

在一个连通集合中,当且仅当f是常数时,它是局部常数

參見[编辑]

参考文献[编辑]