幅角

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数学中,複數幅角是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向。复数的幅角值可以是一切实数,但由于相差(即弧度)的幅角在实际应用中没有差别,所以定义复数的幅角主值为幅角)后的余数,定义取值范围在)之间。复数的幅角是复数的重要性质,在不少理论中都有重要作用。

定义[编辑]

复数幅角的直观示意图

设有非零复数,记作,其中的为实数,那么复数的幅角指的是使下列等式:

成立的任何实数。直观上来说,假设非零复数在复平面中对应的向量是(右图蓝色向量),那么它的幅角是所有能够描述正实数轴到的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出,相差的倍数的角都可以是幅角。这个性质也可以从三角函数是以为周期的周期函数中推导出来。

只有非零复数才有幅角,复数的幅角是没有定义的。

幅角主值[编辑]

同一个复数的幅角有无穷多个,以集合表示为,而对于所有都相同,所以实际只需要以其中一个幅角为代表,此幅角称为幅角主值主幅角,记作。一般约定使用区间中的值作为幅角主值(也有另一种常见的约定是以区间中的值作为幅角主值)。如果复数的幅角主值是,那么它的所有幅角值就是:

幅角的计算[编辑]

给定一个形如的非零复数,幅角主值是将它映射到区间中的函数。幅角主值函数可以用反三角函数来描述:

或者配合半角公式

性质[编辑]

复数的一个幅角绝对值可以用来组成复数的极坐标形式:

在极坐标形式下计算,可以得到复数乘积和商的幅角的规律:

于是对复数幂次的幅角也有:

复数的共轭的幅角则满足:

参考来源[编辑]

  • Ahlfors, Lars. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable 3rd. New York, London: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1. 
  • Beardon, Alan. Complex analysis: the argument principle in analysis and topology. Chichester: Wiley. 1979. ISBN 0-471-99671-8. 
  • Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan. Mathematics. Collins Dictionary 2nd. Glasgow: HarperCollins. 2002 [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. ISBN 0-00-710295-X.