幅角

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数学中,複數幅角是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向。复数的幅角值可以是一切实数,但由于相差360°(即弧度角)的幅角在实际应用中没有差别,所以定义复数的幅角主值为幅角360°(即)后的余数,定义取值范围在0°到360°(即)之间。复数的幅角是复数的重要性质,在不少理论中都有重要作用。

定义[编辑]

复数幅角的直观示意图

设有非零复数,记作,其中的为实数,那么复数的幅角指的是使下列等式:

成立的任何实数。直观上来说,假设非零复数在复平面Oxy中对应的向量是(右图蓝色向量),那么它的幅角是所有能够描述正实数轴到的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出,相差的倍数的角都可以是幅角。这个性质也可以从三角函数是以为周期的周期函数中推导出来。

只有非零复数才有幅角,复数0的幅角是没有定义的。

幅角主值[编辑]

复数的幅角可以有无穷多个,用弧度表示的话,表现为,而对于任何一个形如的集合,对应的单位复数:实际上都是同一个。所以实际中提到复数的幅角时,只需要讨论其中的一个代表,称为复数的幅角主值,记作arg。一般约定使用区间中的值作为幅角主值。另一种常见的约定是用区间中的值作为幅角主值。如果复数的幅角主值是argz,那么它的所有幅角值就是:

幅角的计算[编辑]

给定一个形如的非零复数,幅角主值可以看做是一个将它映射到区间(或者)中的函数。幅角主值函数可以用反三角函数来描述,但一般需要分若干个情况分段表示,比如以下分四种情况的方式:

或者使用半角公式的方式:

性质[编辑]

复数的一个幅角和模可以用来组成复数的极坐标形式:

在极坐标形式下计算,可以得到复数乘积和商的幅角的规律:

以及

于是对复数的幂次的幅角也有:

复数的共轭的幅角则满足:

参考来源[编辑]

  • Ahlfors, Lars. Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable 3rd. New York;London: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1. 
  • Beardon, Alan. Complex analysis: the argument principle in analysis and topology. Chichester: Wiley. 1979. ISBN 0-471-99671-8. 
  • Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan. Mathematics. Collins Dictionary 2nd. Glasgow: HarperCollins. 2002 [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. ISBN 0-00-710295-X.