幅角

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数学中,複數幅角是指复数在复平面上对应的向量和正向实数轴所成的有向。复数的幅角值可以是一切实数,但由于相差360°(即弧度角2\pi)的幅角在实际应用中没有差别,所以定义复数的幅角主值为幅角360°(即2\pi)后的余数,定义取值范围在0°到360°(即2\pi)之间。复数的幅角是复数的重要性质,在不少理论中都有重要作用。

定义[编辑]

复数幅角的直观示意图

设有非零复数z\in \mathbb{C}\setminus\{0\},记作z=x+y\mathbf{i},其中的xy为实数,那么复数z的幅角\phi指的是使下列等式:

z =  x+y\mathbf{i} = \sqrt{x^2 + y^2}(\cos\phi + \mathbf{i}\sin\phi)

成立的任何实数\phi。直观上来说,假设非零复数z在复平面Oxy中对应的向量是\scriptstyle \overrightarrow{OP}(右图蓝色向量),那么它的幅角是所有能够描述正实数轴到\scriptstyle \overrightarrow{OP}的转角的有向角。其中有向角的正方向规定为逆时针方向。图中可以看出,相差2\pi的倍数的角都可以是幅角。这个性质也可以从三角函数\cos\sin是以2\pi为周期的周期函数中推导出来。

只有非零复数才有幅角,复数0的幅角是没有定义的。

幅角主值[编辑]

复数的幅角可以有无穷多个,用弧度表示的话,表现为\{\phi + 2k\pi ; k\in \mathbb{N}\},而对于任何一个形如\{\phi_k = \phi + 2k\pi ; k\in \mathbb{N}\}的集合,对应的单位复数: \cos\phi_k + \mathbf{i}\sin\phi_k 实际上都是同一个。所以实际中提到复数的幅角时,只需要讨论其中的一个代表,称为复数的幅角主值,记作Arg。一般约定使用区间(-\pi,\pi]中的值作为幅角主值。另一种常见的约定是用区间[0,2\pi)中的值作为幅角主值。如果复数的幅角主值是,那么它的所有幅角值就是:

\operatorname{arg}z = \{ \operatorname{Arg}z + 2k\pi ; k\in \mathbb{N}\}.

幅角的计算[编辑]

给定一个形如\scriptstyle z=x+y\mathbf{i}的非零复数,幅角主值\operatorname{Arg}可以看做是一个将它映射到区间(-\pi,\pi](或者[0,2\pi))中的函数。幅角主值函数可以用反三角函数来描述,但一般需要分若干个情况分段表示,比如以下分四种情况的方式:

\operatorname{Arg}(x+y \mathbf{i} ) = \begin{cases} 
\arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}  & \qquad y > 0 \\ 
-\arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}  & \qquad y < 0 \\ 
0  & \qquad x>0, \, y = 0 \\ 
\pi  & \qquad x<0, \, y = 0 \\ 
 \end{cases}  .

或者使用半角公式的方式:


\operatorname{Arg}(x + y\mathbf{i}) = 
\begin{cases}
2 \arctan \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x} \right) & \qquad y \ne 0  \\
0  & \qquad x>0, \, y = 0 \\ 
\pi  & \qquad x<0, \, y = 0 \\ 
\end{cases}.

性质[编辑]

复数z的一个幅角\phi \in \operatorname{arg}z和模|z|可以用来组成复数的极坐标形式:

z = |z| e^{\mathbf{i}\phi }

在极坐标形式下计算,可以得到复数乘积和商的幅角的规律:

\arg\left(z_1  z_2\right) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod {2\pi} ,以及
\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod {2\pi} .

于是对复数的幂次的幅角也有:

\arg\left(z^n\right) = n \arg(z) \pmod {2\pi} .

复数的共轭的幅角则满足:

\arg(\bar{z}) = - \arg(z) \pmod {2\pi} .

参考来源[编辑]

  • Ahlfors, Lars. Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable 3rd. New York;London: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1. 
  • Beardon, Alan. Complex analysis: the argument principle in analysis and topology. Chichester: Wiley. 1979. ISBN 0-471-99671-8. 
  • Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan. Mathematics. Collins Dictionary 2nd. Glasgow: HarperCollins. 2002 [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. ISBN 0-00-710295-X.