在數學中,一個數的平方根指的是滿足的數,即平方結果等於的數。例如,4和-4都是16的平方根,因为。
任意非負實數都有唯一的非負平方根,称为算术平方根或主平方根(英語:principal square root),記為,其中的符号称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作 ,因为并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英語:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。
正数有兩個互为相反数的平方根:正数与负数,可以将两者一起记为。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”(例如矩陣的平方根)。
- 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了的六十进制数字 1;24,51,10。[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数(无法写作m/n,其中m和n是整数)。[3]
中国的《书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時,拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母“L”被不少歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫,在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小寫r的變型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“⎷‾”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写),从而形成了现在人們熟知的开方运算符号。
的平方根亦可用指數表示,如:
的絕對值可用的算數平方根表示:
若正整數是平方數,則其平方根是整數。若正整數不是平方數,則其平方根是無理數。
對於正數、,以下式成立:
正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作(也可以记作,比如电学场景中一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为,故是-1的平方根,而且,所以也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是,如果是任意非负实数,则的算术平方根就是:
例如-5的平方根有两个,它们分别为和。
之所以等式右侧(包括其对应的负值)是的算术平方根,是因为:
负数的兩個平方根为一对共轭的纯虚数。
對於負數、,以下式成立:
虚数的算术平方根可以根据以下公式计算:
这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数和,满足
就可以得到方程组
的解:
其中,算术平方根即为
这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设
就可以推出
对于任何一个非零的复数都存在两个複数使得。
首先,我们将复数 看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的点。这个点也可以写作极坐标的,其中,是该点到坐标原点的距离,则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作。如果
那么我们将的算术平方根定义为:
因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 的泰勒级数也适用于复数。
上面的公式还可以用三角函数的形式表达:
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z,其算术平方根可以使用如下公式:[4][5]
其中,方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);主值实部永远非负。
在虛數裡,平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立:
所以這是錯誤的:
例:若,
數學史中,最重要的平方根可以說是,它代表邊長為1的正方形的對角線長,是第一個公認的無理數,也叫毕达哥拉斯常数,其值到小數點14位約為1.4142135623731。
是無理數,可由歸謬法證明:
- 設為有理數,可表示為,其中、為互質之正整數。
- 因為,故是2的倍數,也是2的倍數,記為,其中為正整數。
- 但是,故,是2的倍數,也是2的倍數。
- 依上兩式,、都是2的倍數,和、為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證不是有理數,即是無理數。
。
注意,6 的质因数分解为 2 × 3,不能写成某个数的平方,因此 就是最简结果
。
《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法;明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[6]。
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是。
- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
- 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步,直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以為例子:
四捨五入得答案為14.14。
事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法。
利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下:
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1
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1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
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1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
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2
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2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
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2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
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2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
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2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
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3
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3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
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3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
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3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
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3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
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3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
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3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
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4
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4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
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4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
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4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
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4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
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如果要求的平方根,選取
例子:求至6位有效數字。
因此.
平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:
连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。
巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根)
- 预测一个平方根,初始另一个值,且
- 求预测值与初始值的均值:,
- 比较和的差值是否达到精度,如果无,继续步骤
這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。
給定線段AB和1,求一條長為的線段。
- 畫線AB,延長BA至C使
- 以BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線,垂直線和圓弧交於D,AD即為所求之長度
將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設
- O=
- AB=
- 直徑為BC的圓就是(圓的方程式:)(其中表示半径。)
- 將(A,D所在的x座標)代入上面的方程式
- 解方程,得。
另也可参见射影定理。
- ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. (原始内容存档于2020-03-12).
- ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
- ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始内容存档于2016-04-23). , Section 3.7.27, p. 17 互联网档案馆的存檔,存档日期2009-09-10.
- ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始内容存档于2016-04-23).
- ^ 劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O