平行六面体

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平行六面体
平行六面体
平行六面体
類別 柱體
6
12
頂點 8
歐拉特徵數 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的種類 平行四邊形×6
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 4 | 2
對稱群 Ci, [2+,2+], (×), order 2
對偶 雙六角錐
特性 , 環帶多面體

几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体。它与平行四边形的关系,正如正方体正方形之间的关系;在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为:

  • 六个面都是平行四边形的多面体
  • 有三对对面平行的六面体;
  • 底面为平行四边形的棱柱

长方体(六个面都是长方形)、正方体(六个面都是正方形),以及菱面体(六个面都是菱形)都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质[编辑]

平行六面体可由正方体线性变换而成。

用相同的平行六面体,可以镶嵌整个空间。

体积[编辑]

基本公式[编辑]

平行六面体的体积是底面 A 与高 h 的乘积,即

V = Ah

这里的高是底面与对面的垂直距离。


以向量計算[编辑]

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 \mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})\mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ,以及 \mathbf{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 V 等于純量三重积

V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|

證明

\mathbf{b}\mathbf{c} 来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积 A 为:

A= |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \sin \theta = |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|

其中 \theta\mathbf{b}\mathbf{c} 之间的角,而高为:

h=|\mathbf{a}| \cos \alpha

其中 \alpha\mathbf{a}h 之间的角。

从图中我们可以看到, \alpha 的大小限定为 0^\circ \le \alpha < 90^\circ 。而向量 \mathbf{b} \times \mathbf{c}\mathbf{a} 之间的角 \beta 则有可能大于90°(0^\circ \le \beta < 180^\circ)。也就是说,由于 \mathbf{b} \times \mathbf{c}h 平行, \beta 的值要么等于 \alpha ,要么等于 180^\circ - \alpha 。因此:

 \cos \alpha = \pm \cos \beta = |\cos \beta |

h=|\mathbf{a}| |\cos \beta|

我们得出结论:

V = Ah = |\mathbf{a}| |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| |\cos \beta|

于是,根据純量积的定义,它等于 \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) 的绝对值,即:

V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值:

 V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} \right|


以稜長及夾角計算[编辑]

abc 是三條兩兩相鄰的稜長,且\alpha\beta\gamma 是三條稜邊的夾角,則平行六面体的体积為:

V = a b c \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}

證明

從上面可知,平行六面体的体积可表示為:

 V = |\det \mathbf{D}|

其中:

 \mathbf{D} = \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix}

因此

V^{2} = \det (\mathbf{D}\mathbf{D}^{t}) = \det \begin{bmatrix}
        a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\
        b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\
        c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c 
 \end{bmatrix}

依行列式及純量積定義展開公式右手邊,即可得上述公式。


以座標計算[编辑]

選取任意一頂點 (x_1, y_1, z_1) 以其相鄰三個頂點 (x_2, y_2, z_2)(x_3, y_3, z_3)(x_4, y_4, z_4) ,則體積可表示為:

V = \left| \det \begin{bmatrix}
        x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
        x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
        x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
        x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\
 \end{bmatrix} \right|

特殊情况[编辑]

如果平行六面体具有对称平面,则一定是以下两种情况之一:

  • 四个面是长方形;
  • 两个面是菱形,而在另外四个面中,两个相邻面相等,另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体;正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体;三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。


完美平行六面體[编辑]

完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年,發現了數十個完美平行六面體的例子[1],包括棱長271、106及103,劣面對角線長101、 266及255,優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体[编辑]

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体

特别地,n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此,平行四边形就是2维超平行体,平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点,并被这个点所平分。

位于\mathbb{R}^m空间中的n维超平行体的n维体积(m \ge n),可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]