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平衡树

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平衡树计算机科学中的一类数据结构,为改进的二叉查找树。一般的二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离(即深度),因此当结点的深度普遍较大时,查询的均摊复杂度会上升。为了实现更高效的查询,产生了平衡树

不平衡的树结构

在这里,平衡指所有叶子的深度趋于平衡,更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。

平衡的树结构

基本操作[编辑]

旋转(Rotate):几乎所有平衡树的操作都基于树旋转操作(也有部分基于重构,如替罪羊树),通过旋转操作可以使得树趋于平衡。对一棵查找树(search tree)进行查询、新增、删除等动作,所花的时间与树的高度h成比例,并不与树的容量 n 成比例。如果可以让树维持平衡,也就是让h维持在的左右,就可以在的复杂度内完成各种基本操作。

插入(insert):在树中插入一个新值。

删除(delete):在树中删除一个值。

查询前驱(predecessor):前驱定义为小于x,且最大的数。

查询后继(successor):后继定义为大于x,且最小的数。

在维护节点大小(size)后,可以支持以下操作:

查询排名(rank):排名定义为比x小的数的个数加一。

查询第k大:即排名为k的数。

各种平衡树[编辑]

  • AVL树:是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中,任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1,因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转,以实现树的重新平衡。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和Evgenii Landis,他们在1962年的论文An algorithm for the organization of information 中公开了这一数据结构。 节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度(有时相反)。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的,并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中,或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。
  • 树堆(Treap):是有一个随机附加域满足的性质的二叉搜索树,其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度。相对于其他的平衡二叉搜索树,Treap的特点是实现简单,且能基本实现随机平衡的结构。
  • 伸展树(Splay tree):能在均摊的时间内完成基于伸展(Splay)操作的插入、查找、修改和删除操作。它是由丹尼尔·斯立特(Daniel Sleator)和罗伯特·塔扬在1985年发明的。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作:假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作,为了使整个查找时间更小,被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法,在每次查找之后对树进行调整,把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树,它会沿着从某个节点到树根之间的路径,通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。 它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。
  • 红黑树 (Red–black tree):在1972年由鲁道夫·贝尔发明,被称为"对称二叉B树",它现代的名字源于Leo J. Guibas和Robert Sedgewick1978年写的一篇论文。红黑树的结构复杂,但它的操作有着良好的最坏情况运行时间,并且在实践中高效:它可以在时间内完成查找,插入和删除,这里的n是树中元素的数目。
  • 加权平衡树(Weight balanced tree):加权平衡树的每个结点储存这个结点下子树的大小,可以用来实现顺序统计树操作。优势在于占用空间相对较小。
  • 2-3树:其内部节点(存在子节点的节点)要么有2个孩子和1个数据元素,要么有3个孩子和2个数据元素,叶子节点没有孩子,并且有1个或2个数据元素。2–3树和AA树等距同构的,换句话说,对于每个2–3树,都至少有1个AA树和它的元素排列是相同的。
  • AA树:AA树是红黑树的一种变种,是Arne Andersson教授在1993年年在他的论文"Balanced search trees made simple"中介绍,设计的目的是减少红黑树考虑的不同情况,区别于红黑树的是,AA树的红节点只能作为右叶子。换句话说,没有红节点可以是一个左子儿。这导致代替2-3-4树,从而大大简化了维护2-3树的模拟。
  • 替罪羊樹:其平衡基于部分重建,在非平衡的二叉搜索树中,每次操作以后检查操作路径,找到最高的满足左右子树大小大于平衡因子(alpha)乘以自身大小的结点,重建整个子树。这样就得到了替罪羊树,而被重建的子树的原来的根就被称为替罪羊节点。

其他类型[编辑]

以下数据结构支持平衡树大多数操作,但实现有根本不同:

应用[编辑]

用于表示有序的线性数据结构,如优先队列关联数组、键(key)-值(value)的映射等。自平衡的二叉查找树与哈希表的相比,各有优缺。平衡树在按序遍历所有键值时是量级最优的,哈希表不能。自平衡二叉查找树在查找一个键值时,最坏情况下时间复杂度优于哈希表, 对比;但平均时间复杂度逊于hash表,对比

平衡树的排序方法,虽然在平均时间复杂度上也是,但由于cache性能、树的调整操作等,性能上不如快速排序堆排序归并排序等同为复杂度的排序。