平面波

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。
一個平面波的波前行進於空間。

在三維空間裏,平面波(plane wave)是一種波動,其波前(在任何時刻,波相位相等的每一點所形成的曲面)是相互平行的平面。平面波的傳播方向垂直於波前。假若平面波的振幅不是常數,例如,振幅是位置的函數,則稱此種平面波為「非均勻平面波」。[1]:24-27

加以延伸,平面波這術語時常用來形容,在空間的一個局部區域裏,近似於平面波的波動。例如,一個局部區域波源,像發射無線電波天線,所發射出的電磁波,在遠場區英语far-field region可以近似為平面波。等價地說,對於在一個均勻介質內,波的傳播距離超長於波長的案例,在幾何光學的正確極限內,射線區域性地對應於近似平面波。

數學表述[编辑]

數學來表述,波動方程式

\nabla^2 f - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0

其中,f(\mathbf{x},t) 是描述波動的函數\nabla^2拉普拉斯算符v 是波動傳播的速度,\mathbf{x} 是位置,t 是時間。

描述平面波的函數 \tilde{\psi}(\mathbf{x},t) 波動方程式的一種解答:

\nabla^2 \tilde{\psi} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \tilde{\psi}}{\partial t^2}=0

平面波 \tilde{\psi}(\mathbf{x},t) 的形式為:

\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) = \tilde{A} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}

其中,i虛數單位\mathbf{k}波向量\omega=kv角頻率\tilde{A} 是複值的振幅純量。

複函數的實部,則可以得到其物理意義。

\operatorname{Re}\{\tilde{\psi}(\mathbf{x},t)\} = |\tilde{A}| \cos (\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t + \arg \tilde{A})

注意到在任意時刻 t=t_0 ,波相位不變的曲面滿足方程式

\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t_0 + \arg \tilde{A}=c_1

或者,

\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}=c_2

其中,c_1c_2 是任意常數。

所有滿足這方程式的 \mathbf{x} 形成一個與 \mathbf{k} 相互垂直的平面,平行波的波前就是這種平面,所有的波前都與 \mathbf{k} 相互垂直,都相互平行。

對於向量的波動方程式,像描述在彈性固體內的機械波電磁波的波動方程式:

\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}=0
\nabla^2 \mathbf{B} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}=0

其中,\mathbf{E}電場\mathbf{B}磁場;

解答也很類似:

\tilde{\boldsymbol{\psi}}(\mathbf{x},\ t)=\tilde{\mathbf{A}}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}

其中,\tilde{\mathbf{A}} 是複值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直於波向量,像傳播於均向性介質的電磁波。縱波的振幅向量平行於波向量,像傳播於氣體或液體的聲波

傳播於某介質內,角頻率與波向量之間的關係,可以以函數 \omega(\mathbf{k}) 表達,稱為介質的色散關係。對於這介質,波的相速度

v_p=\omega/k

群速度

v_g=\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}

參考文獻[编辑]

  1. ^ Hecht, Eugene, Optics. 4th, United States of America: Addison Wesley. 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英文) 
  • J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。