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并集

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A和B的并集

集合论数学的其他分支中,一组集合并集[1](台湾叫做聯集、港澳叫做併集、大陆叫做并集)是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。

基本定义[编辑]

是集合,则并集是有所有的元素和所有的元素,而没有其他元素的集合。的并集通常写作""。形式上:

x是的元素,当且仅当
  • x是的元素,
  • x是的元素。

举例: 集合的并集是。数 属于素数集合偶数集合的并集,因为既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义: 例如,的并集含有所有的元素,所有的元素和所有的元素,而没有其他元素。形式上:

x是的元素,当且仅当属于属于属于

代数性质[编辑]

二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即

。事实上,也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即,对任意集合。可以将空集当作个集合的并集。

结合交集补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环

无限并集[编辑]

最普遍的概念是:任意集合的并集。若 M 是一个集合的集合,则是 M 的并集的元素,当且仅当存在 M 的元素的元素。即:

可以称作集合的搜集(collection of sets)或者集合空间(system of sets)[2], M 的并集是一个集合,这就是公理集合论中的并集公理

例如:是集合的并集。同时,若 是空集, 的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法:

集合论者简单地写

而大多数人会这样写

后一种写法可以推广为

表示集合的并集。这里是一个集合,是一个属于的集合。

索引集自然数集合的情况下,上述表示和求和类似:

同样,也可以写作"". (这是一个可数的集合的并集的例子,在数学分析中非常普遍;参见 -代数)。最后,要注意的是,当符号"\cup "放在其他符号之前,而不是之间的时候,要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律,即

结合无限并集和无限交集的概念,可得

参考[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 程极泰. 集合论. 应用数学丛书 第一版. 国防工业出版社. 1985: 14. 15034.2766. 
  2. ^ Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory 3rd. Marcel Dekker, Inc. 1999: 9. ISBN 0-8247-7915-0.