广义超几何函数

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广义超几何函数generalized hypergeometric function),有时也称超几何函数,是一个用幂级数定义的函数,其中幂级数的系数由若干个升阶乘的积和商给出。下文中用“超几何函数”一词代指广义超几何函数,而用“高斯超几何函数”一词代指 p=2, q=1 时的广义超几何函数。

定义与记号[编辑]

超几何函数是用幂级数定义的:

其中相邻两项的系数之比 βn+1/βn 是关于 n有理函数,分子和分母都可以表示成若干个一次函数的乘积。一般要求分子和分母的多项式的最高次系数均为 1,并取 β0=1,于是

于是用阶乘幂可以将 βn 表示为

一般用下面的记号来表示超几何函数:

ai 都不是非正整数(即负整数和 0)时,要求所有的 bi 都不是非正整数。当有至少一个 ai 是非正整数,且其中最大(绝对值最小)者为 k 时,超几何函数将截断为 -k 次多项式,这时允许 bi 中存在非正整数,但要求这些非正整数都小于 k。这都是为了保证在所有的 βn中,分母不为零。

敛散性[编辑]

下面讨论用来定义超几何函数的幂级数以零为中心的收敛半径。

当超几何函数截断为多项式时,显然收敛半径无穷大

除去这种特殊情况之外,用比值审敛法可知,当 p<q+1 时,收敛半径为无穷大,当 p=q+1 时,收敛半径为 1,剩下的情况收敛半径为 0(这时一般把超几何函数中对应的幂级数视作渐近级数,而函数本身则采用其它方式定义,如积分表达式)。

当级数的收敛半径为 1 时,级数在单位圆外不收敛,但仍然可以通过解析延拓来定义超几何函数的值。另外,此时在单位圆上的敛散性较为复杂,不能使用比值审敛法,必须使用高斯审敛法来判断,结果如下,令

  • r>0 时,级数在单位圆上绝对收敛
  • 当 0≥r>-1 时,级数在单位圆上除 z=1 外收敛,但不绝对收敛;
  • 当 -1≥r 时,级数在单位圆上发散。

积分表达式[编辑]

复平面上的路径积分可以用来定义所有 ak 都不是非正整数时的广义超几何函数,包括上面说到的 pq+1 的情形。

下面只介绍 p+1>q 且级数不截断为多项式的情形(其它情形下,上面的幂级数定义已经是良好的定义,而下面的积分不收敛),这时超几何函数可以定义为:

p=q 且级数不截断为多项式时,超几何函数既可以用上面的积分来定义,也可以用超几何级数定义。可以证明,两种定义是等价的,且定义出来的超几何函数都是整函数

p=q+1 且级数不截断为多项式时,超几何函数既可以用上面的积分来定义,也可以用超几何级数定义,但级数定义只在 |z|<1 时有效,在这个区域内,两种定义是等价的,上式提供了级数定义的一个解析延拓;

p>q+1 且级数不截断为多项式时,超几何函数只能通过积分表达式定义,对应的超几何级数只在 z =0 处收敛,其它情况均发散,它是积分定义的超几何函数在 z=0 处的渐近级数,即

超几何函数的性质[编辑]

特殊值[编辑]

欧拉积分变换[编辑]

导函数[编辑]

由上面三个关系式可以得到超几何函数满足的微分方程:

.

特例[编辑]

0F0[编辑]

就是指数函数

1F0[编辑]

0F1[编辑]

称为合流超几何极限函数(confluent hypergeometric limit functions),与贝塞尔函数有密切关联。

1F12F0[编辑]

1F1 就是(第一类)合流超几何函数,也称 Kummer 函数。

另一方面,2F0 (此函数必须通过积分表达式定义)与第二类合流超几何函数有如下关系:

事实上,它们都可以表示为高斯超几何函数的极限,

类似地,pFq 都可以表示成 p+1FqpFq+1 的极限。

2F1[编辑]

就是高斯超几何函数,一般又简称超几何函数。

多重对数函数[编辑]

s 为非负整数时,多重对数函数 Lis 可以用超几何函数表示:

参考[编辑]