序列紧

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數學上, 若一個拓撲空間裏,每個無窮序列都有收斂子序列,則稱該拓撲空間序列緊英语:squentially compact)。 雖然對於度量空間等價於序列緊,但是對於一般的拓撲空間來說,英语:compact)和序列緊是兩個不等價的性質。

例子和性質[编辑]

實數軸上的標準拓撲不是序列緊的,例如 (sn = n) 便是一個沒有收斂子序列的序列。

若一個空間是度量空間,則其為序列緊當且僅當其為緊。[1] 然而,一般情況下,存在序列緊而非緊的拓撲空間,比如具有序拓撲首個不可數序數,也存在緊而非序列緊的拓撲空間,比如由 多個 單位閉區間組成的積空間[2]

有關概念[编辑]

  • 若拓撲空間 X 的任意無窮子集都有一個極限點X 中,則稱 X聚點緊的。
  • 若拓撲空間 X 的任意可數開覆蓋都有一個有限子覆蓋,則稱 X可數緊的。

對於度量空間,序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。

對於序列空間,序列緊與可數緊等價。[3]

單點緊化的意思是,在拓撲空間中加入一點,然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。 [4]

相關條目[编辑]

參考來源[编辑]

  1. ^ Willard, 17G, p. 125.
  2. ^ Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
  3. ^ Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
    K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
  4. ^ Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

參考書目[编辑]