序拓撲

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数学上,序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓扑结构。 此為將实数的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間

如果 X 為全序集,則 X序拓扑由無界開區間

組成的準基生成,其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於,開區间

連同上述無界開區間組成序拓撲的一組,換言之, X 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的(允許無窮)

若可對一个拓扑空间 X 的元素定義一個全序,使得該全序給出的序拓撲就是 X 自身的拓撲,則称 X可序化的X 上的序拓撲使 X 成為一個完全正規的豪斯多夫空间

 R, Q, Z, N 上的標準拓撲均為为序拓扑。

誘導拓扑[编辑]

YX 的子集,則 Y 继承了 X 的全序。Y 因此具有序拓扑结构, 稱為导出拓扑。作为 X 的子集,Y 还有一个子空间拓扑。子空间拓撲至少比誘導拓撲更精細,但一般情況下它们不相同。

例如,考虑有理數集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}nN 。 在子空间拓扑中,單元集 {-1} 在 Y 中是開集,但在诱导拓扑中,任何含有 -1 的開集都必须包含 Y (除有限個以外)的所有元素。

全序空間的子空间拓撲不一定可序化[编辑]

虽然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}nN 的子空間拓撲不是由 Y 的誘導排序產生,它仍是 Y 上的序拓撲;事实上,在子空间拓撲中,每一点都是孤立的(即,單元集 {y} 是 Y 的開集),故子空间拓扑是 Y 上的離散拓撲(使得每一个子集都是 Y 的开集),而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 Y 的全序使得其产生的序拓扑是 Y 上的離散拓撲,只需修改 Y 上的誘導排序,使得 -1 是最大的元素,並保持其他元素的大小次序。於是,在新的排序(称為 <1 )中,有 1/n <1 -1 對任意 nN 均成立。這樣,<1Y 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 X 及其子集 Z ,使得不存在 Z 上的全序給出一個序拓撲與 Z 的子空間拓撲完全一樣。換言之,儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲,其不為序拓撲。

為實數軸的子集。同上可知,Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上诱导的序拓扑。且可證,Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上的任何序拓扑。

用反證法。假设 Z 有一個严格全序 < ,使得 < 給出的序拓撲等于 Z 的子空間拓撲(注意,並未假定 < 是 Z 上的誘導排序,即 < 可以是任意一种新的全序)。區間也相應地按 < 理解,下同。 此外,如果 AB 是集合,則 表示:對任意 A 的元素 aB 的元素 b ,都有

M=Z \{-1} 為單位開區間,則 M 連通。若 m,nM m<-1<n ,M 的分隔,矛盾。因此,M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨設 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的開集,存在 M 中的一點 p 使得 (-1, p ) 為空。又因 {-1}<M ,-1 是唯一小于 p 的元素,因此 pM 中最小的。但這樣,M \ {p}=AB,其中 A B 是實軸上不相交的兩個開集(從實軸上的開區間去除一点,剩下的是兩個開區間)。由連通性,没有 Z \B 中的點在排序後介於 B 的兩點之間,也没有 Z \A 中的點在排序後介於 A 的兩點之間。因此,任何一个 A<BB<A. 又不妨設 A<B. 如果 aA 中任何一点,則 p<a ,且 (p, a)A. 又 (-1, a) = [p, a),因此 [p, a) 是开集。而 {p}∪A = [p, a)∪A,因此 {p }∪AM 的開子集,因此 M = ({p }∪A) ∪ BM 分割成兩個不相交的開集,這與 M 連通矛盾。

拓撲結構為序拓撲的空間稱為序空間,而序空间的子空間称为廣義序空间。因此,以上例子 Z 是一个廣義序空间,但不是一個序空間。

左、右序拓扑[编辑]

類似的拓扑结构有:

  • X 上的右序拓扑,其具有 (a, ∞) 形式的開集(包括 (-∞, ∞) )。[1]
  • X 上的左序拓扑,其具有 (−∞, b) 形式的開集(包括 (-∞, ∞) )。

左序拓撲和右序拓扑可作為點集拓扑學上的一些反例。例如,有界集上的左序拓撲或右序拓扑是紧空间,但不是豪斯多夫的

集合論裏,左序拓扑給出一個布尔代數上的標準拓撲。

序數空间[编辑]

对于任何序数 λ ,序數集

具有自然的序拓撲結構。这種拓撲空間空间称为序數空间。(注意,按照集合論通常構造序數的方法,有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] )显然,當 λ 為無窮序數時,情況較複雜;否则,對於有限的序數,其序拓扑是简单的离散拓扑

当 λ = ω (最小的无窮序數)時,空间 [0,ω) 只是 N 及其往常的離散拓扑,而 [0,ω] 則是單點緊化N

當 λ = ω1 (即所有可数序數組成的集合)時,情況有所不同。元素 ω1 是子集 [0,ω1) 的极限点,但不存在 [0,ω1) 中的序列以 ω1 为極限。確切地說,[0,ω1]不是第一可数的。然而,子空间 [0,ω1) 是第一可数的,因為唯一無可数邻域系的點是 ω1. 其他性質包括

参見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Steen, p. 74.