应用数学

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应用数学英语applied mathematics)是应用性较强的诸数学学科或分支的统称。也有一种理解为,泛指一切数学理论和方法中应用性较强的部分。这里的“应用”是指用于解决数学以外的生产实践、科学技术以及各种社会活动中的理论或实际问题。从人类社会发展史上看,数学本来起源于实际应用的需要,应用一直是数学的发展动力之一,一种数学理论和一门数学学科的生命力的强弱,很大程度上依赖于它有无应用。因此,从这个意义上讲,整个数学都是有用的。事实上,古老的算术与平面几何等不但起源于实际应用,在现代社会活动中也是不可一时或缺的。许多昔日认为毫无实际意义的数学理论,如数论拓扑凸分析以至非标准分析,都在生产和科技发展中找到它们的应用。因此不能简单地以“有用”或“无用”来区分应用数学的学科。像微积分在天文、物理及许多科技领域都有广泛的应用,理论力学就完全是应用微积分解决经典力学问题的学科。但从整个学科看,应用只是它的一部分,以微积分为其主体的数学分析是分析数学的基础,所以它还是应该属于纯数学。[1]

历史[编辑]

在古代,数学本无“应用”和“纯粹”之分,“应用数学”一词大约出现于17世纪前后,高等数学方才萌芽,数学的抽象层次提高,理论和应用开始明显分离的时期,从此人们用它以指数学的某些部分,以至某些独立的数学学科。所以,应用数学学科一般都是在近代或现代发展起来的,其特点是,它们的内容都是围绕着解决某一类实际问题,因此首先要有从实际问题中抽象出相应的数学模型,使其具有应用数学理论和方法的基础;其次,所提出的解决问题的方法是可行的,而不是只从理论上证明问题解的存在。例如,牛顿提出地球绕日运动的模型,是用微积分方法解决天文学问题的开端;阿罗(Arrow,K,J.)与曾获诺贝尔经济奖的德布罗(Debreu,G.)给出的一般经济均衡模型,使得经济学问题中可以使用的数学方法不止微分法,而涉及更多的数学领域,这才形成数理经济学学科。当然,应用数学学科也并非从各数学分支抽取一些有用的方法简单堆砌而成,而有其自身的系统理论,模型和方法都有其理论依据,否则也不成其为独立的学科。应用数学一方面应用于各类实际问题,另一方面,它也是纯数学的应用,纯数学是它的理论基础。像数理统计是从已知的关于有限的样本的信息出发,去研究无限整体的统计规律,它给出由样本估计整体的统计量的统计方法,同时对这些方法的可靠性、优劣标准等有系统的论证。这些方法和论证主要以概率论作为理论基础和根据,又如微分凸分析主要研究极值问题的思想和准则,而运筹学则着重研究最优化问题的种种解法。从研究对象上看,应用数学也不都是直接研究实际问题,它的对象主要是数学模型,用的还是抽象的数学方法,提供的是解决问题的思维准则。这些都与纯数学相近,而与工程技术或技术学科不同。然而,纯数学所追求的,有时可以只是理论上的完善和方法上的优美,一般并不是针对某一类实际问题,例如数论中对哥德巴赫问题的研究就是如此。应用数学追求的目标一般则是解决模型所提出的问题,而模型是有实际意义的。因此应用数学与纯数学在其研究的目的性方面大不相同,这是二者的最大区别。

应用数学所包含的学科难以胜数,其领域随着时代的发展正日渐扩大。有人甚至将理论力学、天文学和测绘学等与数学关系密切的学科也归入其中。各种各样的计算方法,显然也与数学的应用有密不可分的关系。特别是近年来,随着电子计算机的发展,已形成庞大的队伍,不能继续附属于各数学学科,而属于新兴的计算数学。在应用数学中,较早形成学科的,有基于分析和微分方程方法研究现代物理问题的数学物理,和运用概率统计方法探讨随机现象的数理统计、生物数学等。其后的发展,这些学科内容更加丰富,还生成了许许多多的新学科,诸如,综合运用概率统计及其他数学方法,总称运筹学的数学规划,排队论等,20世纪中期以后发展起来的控制论信息论系统论模糊数学突变理论小波分析混沌理论分形几何以及组合学方面的学科也都整体或部分地属于应用数学。近年来,数学的应用更深入到社会和人文科学领域,数理经济学金融数学等名称冠以“数学”或“数理”的新学科如雨后春笋般涌现,显示出应用数学发展的旺盛活力。

目前人类已进入科技和生产高速发展的时期,它一方面使应用数学大有用武之地,同时又对数学,主要是应用数学提出了大量的需求,這門學問也只會因科學的大量需求而不斷延展下去。人类无论在对揭示生命起源等微观世界的研究,或是在对展现宇宙奥秘的宏观世界的探索中,都需要数学的帮助,而往往科學的發展也受限於數學,彼此是相互扶持的關係。因此应用数学的未来发展前景是十分美好的。[1]

分支[编辑]

应用数学是应用目的明确的数学理论和方法的总称,研究如何應用數學知識到其他範疇(尤其是科學)的數學分支,可以說是純數學的相反,應用數學的發展是以科學為依據,做為科學研究的後盾。包括微分方程向量分析矩陣拉普拉斯變換傅里葉變換複變分析數值方法概率论数理统计运筹学博弈论控制理论组合数学信息论等许多数学分支,也包括从各种应用领域中提出的数学问题的研究。而大部分應用數學是以作為物理分析的工具。计算数学有时也可视为应用数学的一部分。應用數學大部分的教學範疇都是以物理的模型為基礎進行分析,當中或許搭配了各種數學工具,就為了更貼近物理的系統。

圖論應用在網絡分析,拓扑学在电路分析上的应用,群论在结晶学上的应用,微分几何在规范场上的应用,自动控制理论在计算上的应用,黎曼几何应用于相对论数理逻辑应用于计算机最小二乘法应用于飞机起降时自动控制,利用数字合成计算机辅助的X射线断层成像技术(1979年数学家获得诺贝尔医学奖,)數論應用在密码学博弈論概率論統計學應用在經濟學,线性规划用于生产安排调度,都可見數學在不同範疇的應用。

参考书目[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 《数学辞海(第五卷)》. 山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社 (中文(中国大陆)‎). 

参看[编辑]