庞加莱度量

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数学中,庞加莱度量Poincaré metric),以昂利·庞加莱命名,描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型,在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系,等距莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上,通常表示为与 q-类似Q-analog)的关系,这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要[编辑]

复平面上的度量可写成一般形式

这里 λ 是 z 的一个正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

复平面上子集 M 之面积是

这里 是用于构造体积形式外积。度量的行列式等于 ,故而行列式的平方根是 。复平面上的欧几里得体积形式为 ,从而我们有

函数 称为度量的势能potential of the metric),如果

拉普拉斯–贝尔特拉米算子

度量的高斯曲率

给出,这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上,等距与坐标变换等价:即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而,比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 T 是带有度量 的黎曼曲面,则映射

以及 是等距当且仅当它是共形的以及

在这里,映射为共形的也就是条件

庞加莱平面上的度量与体积元[编辑]

庞加莱半平面模型上半平面 H庞加莱度量张量

这里我们记 。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是,如果我们记

,则我们可算得

无穷小变换为

从而

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素

度量为


度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 上任意四点 ,交比定义为

那么度量用交比表示为

这里 是端点,位于实数轴上,测地线连接 。这些点是有顺序的故 位于 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧(的一段),即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射[编辑]

上半平面可以共形地映到单位圆盘,用莫比乌斯变换

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中,常数 z0 可取上半平面上任何一点;这个点将映为圆盘的中心。实数轴 映为单位圆盘的边界 。实常数 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

i 映为圆盘的中心,0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素[编辑]

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量单位圆盘 上为

体积形式为

的庞加莱度量为

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型[编辑]

穿孔圆盘坐标上的 J-不变量J-invariant);这是 nome 的一个函数。
庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量;注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。

第二个将上半平面映成圆盘q-映射

这里 qnomeNome),半周期比例half-period ratio)。在上一节的记号中, 是上半平面 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘,因为值 q=0 不在映射的中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

度量的势能是

施瓦茨引理[编辑]

庞加莱度量在调和函数距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广,称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。

另见[编辑]

引用[编辑]

  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
  • Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)