度規函數

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

度規函數數學凸分析的一個重要函數。設上的向量空間,有需要時可以假設為拓撲向量空間。設為在內的凸集,且包含原點。那麼的度規函數是從的函數,定義為

,

如果空集,定義

從定義立刻得到以下結果,可以進一步說明度規函數:

  • 是在中的開集,那麼
  • 是在中的閉集,那麼

性質[编辑]

凸性[编辑]

度規函數符合次加性,因此是凸函數

只取有限值的條件[编辑]

包含的凸集的度規函數不取,當且僅當吸收的

同樣地可立刻看出這條件當內點時成立。易證逆命題在有限維時成立:簡潔做法是看到既是有限值和處處定義的凸函數,因而連續,故此包含在內且是的鄰域。

是在的內部時,可以想像這樣一幅圖畫:函數取值1的點正好是凸集邊界,其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點,函數在該點取值為

最後再補充一點。在實向量空間時,相對點對稱,其度規函數避開值,這度規函數便是半範數;在複向量空間也有同樣結論,只需把對稱的定義,修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

原點外不取0值的條件[编辑]

從定義看出度規函數在原點外一點值,當且僅當從原點過的射線包含在凸集內。

因此立刻可知在賦範向量空間內,有界凸集的度規函數不在原點外取 值。

逆命題對有限維空間內的閉凸集成立,用半徑為1的球面的緊緻性證明。

為在有限維空間內包含的閉凸集。有界當且僅當其度規函數除原點外不取值。

用途[编辑]

  • 凸集的幾何中,度規函數是有用的工具,能把純幾何問題(研究超平面),轉變成純分析問題(研究超平面的方程)。在凸集分離支撐超平面理論的一個基礎結果,就是哈恩-巴拿赫定理的幾何形式,其中的證明關鍵,在觀察到對適合方程的超平面,要求超平面避開給定包含原點的開凸集,與要求函數和凸集的度規函數適合不定方程是相同的。

參考書目[编辑]

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130