度規函數

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度規函數數學凸分析的一個重要函數。設E\R\mathbb C上的向量空間,有需要時可以假設為拓撲向量空間。設C為在E內的凸集,且包含原點。那麼C的度規函數p是從E\mathbb R \cup \{+ \infty \}的函數,定義為

p(x)=  
\inf\, \{\lambda >0 \,\mid\, x \in \lambda C \} ,

如果C空集,定義p(x)=  +\infty

從定義立刻得到以下結果,可以進一步說明度規函數:

\{x\,\mid\,p(x)<1\}\subset C\subset\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}
  • C是在E中的開集,那麼C=\{x\,\mid\,p(x)<1\}
  • C是在E中的閉集,那麼C=\{x\,\mid\,p(x)\leq1\}

性質[编辑]

凸性[编辑]

度規函數符合次加性,因此是凸函數

只取有限值的條件[编辑]

包含0的凸集C的度規函數不取+\infty,當且僅當C吸收的

同樣地可立刻看出這條件當0C內點時成立。易證逆命題在有限維時成立:簡潔做法是看到p既是有限值和處處定義的凸函數,因而p連續,故此\{x\,\mid\,p(x)<1\}包含在C內且是0的鄰域。

0是在C的內部時,可以想像這樣一幅圖畫:函數取值1的點正好是凸集C邊界,其他正數值的水平面是其位似形。如果有不在任一個水平面上的點,函數在該點取值為0

最後再補充一點。在實向量空間時,C相對0點對稱,其度規函數避開+\infty值,這度規函數便是半範數;在複向量空間也有同樣結論,只需把對稱的定義,修改為與任何模為1的複數相乘都不變。

原點外不取0值的條件[编辑]

從定義看出度規函數在原點外一點x_00值,當且僅當從原點過x_0的射線包含在凸集內。

因此立刻可知在賦範向量空間內,有界凸集的度規函數不在原點外取 0值。

逆命題對有限維空間內的閉凸集成立,用半徑為1的球面的緊緻性證明。

C為在有限維空間內包含0的閉凸集。C有界當且僅當其度規函數除原點外不取0值。

用途[编辑]

  • 凸集的幾何中,度規函數是有用的工具,能把純幾何問題(研究超平面),轉變成純分析問題(研究超平面的方程)。在凸集分離支撐超平面理論的一個基礎結果,就是哈恩-巴拿赫定理的幾何形式,其中的證明關鍵,在觀察到對適合方程f(x)=1的超平面,要求超平面避開給定包含原點的開凸集,與要求函數f和凸集的度規函數p適合不定方程p\leq f是相同的。

參考書目[编辑]

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056, p. 128-130