度量张量

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黎曼幾何裡面,度量張量又叫黎曼度量,物理学译为度規張量,是指一用來衡量度量空间中距離,面積及角度的二階張量


當选定一個局部坐標系統x^i,度量張量為二階張量一般表示為 \textstyle ds^2=\sum_{ij}g_{ij}dx^i dx^j,也可以用矩陣 (g_{ij}) 表示,記作為Gg。而 g_{ij} 記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為「矩陣元素」)。

ab 的弧線長度定义如下,其中参数定為t,t由a到b:

L = \int_a^b \sqrt{ \sum_{ij}g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt

兩個切向量的夾角  \theta ,設向量 \textstyle U=\sum_i u^i{\partial\over \partial x_i}\textstyle V=\sum_i v^i{\partial\over \partial x_i},定義為:


\cos \theta =\frac{\langle u, v\rangle}{|u||v|}= \frac{\sum_{ij}g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| \sum_{ij}g_{ij}u^iu^j \right| \left| \sum_{ij}g_{ij}v^iv^j \right|}}

f\mathbb{R}^n\mathbb{R}^n 的局部微分同胚,其誘導出的度量張量的矩陣形式 G,由以下方程式計算得出:

G = J^T J

J 表示 f雅可比矩阵,它的轉置为 J^T 。著名例子有 \mathbb{R}^2 之間從極座標 (r,\theta) 到直角座標 (x,y) 的座標變換,在這例子裡有:

x = r \cos\theta
y = r \sin\theta

這映射的雅可比矩陣為

J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}.

所以

G=(g_{ij}) = J^\mathrm{T}J  = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, ds^2=dr^2+r^2 d\theta^2,一致。

例子[编辑]

歐幾里德幾何度量[编辑]

二維歐幾里德度量張量:

(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

弧線長度轉為熟悉微積分方程式:

L = \int_a^b \sqrt{ (\frac{dx^1}{dt})^2 + (\frac{dx^2}{dt})^2}dt

在其他坐標系統的歐氏度量:

极坐标系(x^1, x^2)=(r, \theta)

(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}

圓柱坐標系(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z)

(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

球坐標系(x^1, x^2, x^3)=(r, \phi, \theta)

(g_{ij}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}

平面闵可夫斯基空间(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z)\,

(g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu}) \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

在一些習慣中,與上面相反地,時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號,故矩陣表示為:

(g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu}) \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}

參看[编辑]