度量张量

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黎曼幾何裡面,度量張量(英語:Metric tensor)又叫黎曼度量,物理学译为度規張量,是指一用來衡量度量空间中距離,面積及角度的二階張量


當选定一個局部坐標系統,度量張量為二階張量一般表示為 ,也可以用矩陣 表示,記作為Gg。而 記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為「矩陣元素」)。

的弧線長度定义如下,其中参数定為t,t由a到b:

兩個切向量的夾角 ,設向量 ,定義為:

的局部微分同胚,其誘導出的度量張量的矩陣形式 ,由以下方程式計算得出:

表示 雅可比矩阵,它的轉置为 。著名例子有 之間從極座標 到直角座標 的座標變換,在這例子裡有:

這映射的雅可比矩陣為

所以

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, ,一致。

例子[编辑]

歐幾里德幾何度量[编辑]

二維歐幾里德度量張量:

弧線長度轉為熟悉微積分方程式:

在其他坐標系統的歐氏度量:

极坐标系

圓柱坐標系

球坐標系

平面闵可夫斯基空间

在一些習慣中,與上面相反地,時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號,故矩陣表示為:

參看[编辑]