开世定理

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几何学中,开世定理欧几里得几何学中的一个定理,可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世

叙述[编辑]

开世定理的背景是内切圆。设有半径 的一个圆,圆内又有四个圆 内切于圆(如右图)。如果将圆外公切线的长度设为,那么开世定理声称,有下列等式成立。

可以注意到,如果四个内切的圆都退化成点的话,就会变成圆 上的四个点,而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。

证明[编辑]

设大圆的圆心是点;四个圆的圆心分别是点,半径分别是。每个圆与大圆 的切点分别是

首先,根据勾股定理可以推出:对于任意的ij,都有

接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用 来表示。

考虑三角形,根据三角形的余弦定理

由于每个圆 都和大圆相切,所以:

设点 为大圆 上的任意一点,根据三角形的正弦定理,在三角形之中,有:

所以,余弦式

将以上 代入式子中,就可以得到:

再代入式子中,就得到的表达式:

以上等式对所有的ij 都成立,因此只要注意到四边形 是圆内接四边形,那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理:

证明完毕。

推广[编辑]

可以用类似的方法证明,只要当圆 与大圆 相切(不论是外切还是内切),就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明,对任意的ij

如果圆 是与大圆 以同样的方式相切(都是外切或者都是内切)的话,则表示两个圆的外公切线的长度;
如果圆 是与大圆 以不同的方式相切(一个是外切而另一个是内切)的话,则表示两个圆的内公切线的长度。

另一个特点是:这定理的逆定理也成立。也就是说,如果开世定理的等式成立,那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。[1]

应用[编辑]

在欧几里得几何学中,开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。

注释[编辑]

  1. ^ Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125

参考书籍[编辑]

  • (英文) Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0. ,p.123-125 (1929年曾以《现代几何学》(modern geometry)之名出版。).
  • (英文)O. Bottema, Reinie Erne. Topics in Elementary Geometry. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3. 

外部链接[编辑]