「
开方 」重定向至此。关于古代人物，请见「
衛開方 」。
在数学 中，一數
b
{\displaystyle b}
数
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
实数
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
主
n
{\displaystyle n}
，則可以用根号
t
{\displaystyle {\sqrt {\color {white}t}}}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
1024
10
=
2
{\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
n
{\displaystyle n}
偶数 時，负数 没有主
n
{\displaystyle n}
平方根 ，将3次方根叫做立方根 。
符号史 [ 编辑 ] 最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号 （即被开方数 上的横线），后来数学家笛卡尔 给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数 写在根号 的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号
x
{\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}
考慮在计算机 中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。
基本运算 [ 编辑 ] 带有根号的运算可由如下公式 推導而得:
a
b
n
=
a
n
b
n
a
≥
0
,
b
≥
0
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}
a
b
n
=
a
n
b
n
a
≥
0
,
b
>
0
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}
a
m
n
=
(
a
n
)
m
=
(
a
1
n
)
m
=
a
m
n
,
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}
这裡的a 和b 是正数 。
对于所有的非零 复数
a
{\displaystyle a}
n 个不同的复数
b
{\displaystyle b}
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
n
{\displaystyle n}
主幅角 最小的）。n 次单位根 是特别重要的。
当一个数从根号形式变换到幂 形式，幂的规则仍适用（即使对分数 幂），也就是
a
m
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}
(
a
b
)
m
=
a
m
b
m
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}
(
a
m
)
n
=
a
m
n
{\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}
例如:
a
5
3
a
4
5
=
a
5
3
a
4
5
=
a
5
3
+
4
5
=
a
37
15
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}
若要做加法 或减法 ，需考慮下列的概念。
a
5
3
=
a
a
a
a
a
3
=
a
3
a
2
3
=
a
a
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群 的“同类项”问题。
例如
a
5
3
+
a
8
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}
=
a
3
a
2
3
+
a
6
a
2
3
{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}
=
a
a
2
3
+
a
2
a
2
3
{\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
=
(
a
+
a
2
)
a
2
3
{\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
An unresolved root, especially one using the radical symbol, is sometimes referred to as a surd[1] or a radical.[2] Any expression containing a radical, whether it is a square root, a cube root, or a higher root, is called a radical expression, and if it contains no transcendental functions or transcendental numbers it is called an algebraic expression.
不尽根数 [ 编辑 ] 未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。
如下恒等式 是處理不尽根数的基本技巧:
a
2
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}}
a
m
b
n
=
a
m
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}
a
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
(
a
+
b
)
−
1
=
1
(
a
+
b
)
=
a
−
b
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
−
b
a
−
b
{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}
无穷级数 [ 编辑 ] 方根可以表示 为无穷级数:
(
1
+
x
)
s
t
=
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
0
n
(
s
+
t
−
k
t
)
(
s
+
t
)
n
!
t
n
x
n
(
|
x
|
<
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}
找到所有的方根 [ 编辑 ] 任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法 找到。这个数应当首先被写为如下形式
a
e
i
φ
{\displaystyle ae^{i\varphi }}
欧拉公式 )。接着所有的n 次方根给出为:
e
(
φ
+
2
k
π
n
)
i
×
a
n
{\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
正实数 [ 编辑 ] 所有
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
e
2
π
i
k
n
×
a
n
{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
解多项式 [ 编辑 ] 曾经有數學猜想 ，認為多项式 的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理 断言了这不是普遍为真的。例如，方程
x
5
=
x
+
1
{\displaystyle \ x^{5}=x+1}
的解不能用根号表达。
要解任何n 次方程，参见求根算法 。
對於正數
A
{\displaystyle A}
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
猜一個
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
設
x
k
+
1
=
1
n
[
(
n
−
1
)
x
k
+
A
x
k
n
−
1
]
{\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}
Δ
x
k
=
1
n
[
A
x
k
n
−
1
−
x
k
]
{\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]}
x
k
+
1
=
x
k
+
Δ
x
k
{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}}
重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：
|
Δ
x
k
|
<
ϵ
{\displaystyle |\Delta x_{k}|<\epsilon }
從牛頓法導出 [ 编辑 ] 求
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
x
n
−
A
=
0
{\displaystyle x^{n}-A=0}
設
f
(
x
)
=
x
n
−
A
{\displaystyle f(x)=x^{n}-A}
導函數 即
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}
以牛頓法 作迭代，便得
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
f
′
(
x
k
)
{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}
=
x
k
−
x
k
n
−
A
n
x
k
n
−
1
{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}
=
x
k
−
x
k
n
+
A
n
x
k
n
−
1
{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}
=
1
n
[
(
n
−
1
)
x
k
+
A
x
k
n
−
1
]
{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}
從牛頓二項式定理導出 [ 编辑 ] 設
x
k
{\displaystyle x_{k}}
y
{\displaystyle y}
令
A
=
(
x
k
−
y
)
n
{\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}}
牛頓二項式展開 ，取首兩項：
A
≈
x
k
n
−
n
x
k
n
−
1
y
{\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}
調項得
y
≈
x
k
n
−
A
n
x
k
n
−
1
=
1
n
(
x
k
−
A
x
k
n
−
1
)
{\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}
將以上結果代回（*），得遞歸公式
x
k
+
1
=
x
k
−
y
=
1
n
[
(
n
−
1
)
x
k
+
A
x
k
n
−
1
]
{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}
外部链接 [ 编辑 ] 
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![\sqrt[n]{a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
![{\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87b1a8b8e4e885f3b5757e7ecb790f9d15e1aa0)
![{\sqrt[ {n}]{ab}}={\sqrt[ {n}]{a}}{\sqrt[ {n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42115473722e787897c604bed704f3e90a259505)
![{\sqrt[ {n}]{{\frac {a}{b}}}}={\frac {{\sqrt[ {n}]{a}}}{{\sqrt[ {n}]{b}}}}\qquad a\geq 0,b>0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee57799587b579cf8415b960cda2937d540e845)
![{\sqrt[ {n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[ {n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{{{\frac {1}{n}}}}\right)^{m}=a^{{{\frac {m}{n}}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc11ef71f42b5d04e3b2d8874c4ccdcb9e35d5ca)
![\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892d38375869d6b442afca1b64b8945b797a6344)
![{\sqrt[ {3}]{a^{5}}}={\sqrt[ {3}]{aaaaa}}={\sqrt[ {3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4659d635deec0af59a8b22f140dedce969541f0)
![{\sqrt[ {3}]{a^{5}}}+{\sqrt[ {3}]{a^{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be258ffaf6be8b6ad28ae3eda5ebcf7560a747b)
![={\sqrt[ {3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[ {3}]{a^{6}a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2be132eb543f356f4d32c4d396d37cb4e63c72)
![=a{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[ {3}]{a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94ad48474e6d8add3f10e2d1f044b28e1f3fa13)
![=({a+a^{2}}){\sqrt[ {3}]{a^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb0d86b9cdf15d58dd225575188df89b60943aa)
![{\sqrt[ {n}]{a^{m}b}}=a^{{{\frac {m}{n}}}}{\sqrt[ {n}]{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be205444236d9285236312c82e0cc3e93c49deb)
![{\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85a6077d8b3c1b3c98317eecb0ce47a926a4549)
![{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7bbf0ec4a058a408d016bc4c013aeabd2d80008)
![{\sqrt[ {n}]{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c619f2e28fc8407c3489c1b78f2348f129a712)
![x_{{k+1}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a04ab474a1b0d5803206757164ad075abc43707)
![\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}-x_{k}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2f9f2a4772d734239540e569f42c3d00ca3c54)
![{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77213fc47f1c355946993ee6eca67b05f76b594)
![x_{{k+1}}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{{n-1}}}}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa63af56f327cdf59c6ed94a1f6796830b7171a8)
