「
开方 」重定向至此。关于古代人物,请见「
衛開方 」。
在数学 中,一數
b
{\displaystyle b}
為数
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根 ,則
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
。在提及实数
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根的时候,若指的是此数的主
n
{\displaystyle n}
次方根 ,則可以用根号 (
t
{\displaystyle {\sqrt {\color {white}t}}}
)表示成
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作
1024
10
=
2
{\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2}
。當
n
=
2
{\displaystyle n=2}
時,則
n
{\displaystyle n}
可以省略。定义实数
a
{\displaystyle a}
的主
n
{\displaystyle n}
次方根为
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根,且具有与
a
{\displaystyle a}
相同的正负号的唯一实数
b
{\displaystyle b}
。在
n
{\displaystyle n}
是偶数 時,负数 没有主
n
{\displaystyle n}
次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根 ,将3次方根叫做立方根 。
符号史 [ 编辑 ]
最早的根号“√”源于字母「r」的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号 (即被开方数 上的横线),后来数学家笛卡尔 给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数 写在根号 的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。形成了现在所熟悉的开方运算符号
x
{\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}
。
考慮在计算机 中的输入问题,有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。
基本运算 [ 编辑 ]
带有根号的运算可由如下公式 推導而得:
a
b
n
=
a
n
b
n
a
≥
0
,
b
≥
0
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}
a
b
n
=
a
n
b
n
a
≥
0
,
b
>
0
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}
a
m
n
=
(
a
n
)
m
=
(
a
1
n
)
m
=
a
m
n
,
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}
这裡的a 和b 是正数 。
对于所有的非零 复数
a
{\displaystyle a}
,有n 个不同的复数
b
{\displaystyle b}
使得
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
,所以符号
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
就會出現歧义(通常這樣寫是取
n
{\displaystyle n}
個值當中主幅角 最小的)。n 次单位根 是特别重要的。
当一个数从根号形式变换到幂 形式,幂的规则仍适用(即使对分数 幂),也就是
a
m
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}
(
a
b
)
m
=
a
m
b
m
{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}}
(
a
m
)
n
=
a
m
n
{\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}}
例如:
a
5
3
a
4
5
=
a
5
3
a
4
5
=
a
5
3
+
4
5
=
a
37
15
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}}
若要做加法 或减法 ,需考慮下列的概念。
a
5
3
=
a
a
a
a
a
3
=
a
3
a
2
3
=
a
a
2
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
若已可以简化根式表示式,则加法和减法就只是群 的“同类项”问题。
例如
a
5
3
+
a
8
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}}
=
a
3
a
2
3
+
a
6
a
2
3
{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}}
=
a
a
2
3
+
a
2
a
2
3
{\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
=
(
a
+
a
2
)
a
2
3
{\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}}
An unresolved root, especially one using the radical symbol, is sometimes referred to as a surd[1] or a radical.[2] Any expression containing a radical, whether it is a square root, a cube root, or a higher root, is called a radical expression, and if it contains no transcendental functions or transcendental numbers it is called an algebraic expression.
不尽根数 [ 编辑 ]
未經化簡的根數,一般叫做“不尽根数”(surd),可以处理为更简单的形式。
如下恒等式 是處理不尽根数的基本技巧:
a
2
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}}
a
m
b
n
=
a
m
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}}
a
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
(
a
+
b
)
−
1
=
1
(
a
+
b
)
=
a
−
b
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
−
b
a
−
b
{\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}}
无穷级数 [ 编辑 ]
方根可以表示 为无穷级数:
(
1
+
x
)
s
t
=
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
0
n
(
s
+
t
−
k
t
)
(
s
+
t
)
n
!
t
n
x
n
(
|
x
|
<
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}}
找到所有的方根 [ 编辑 ]
任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法 找到。这个数应当首先被写为如下形式
a
e
i
φ
{\displaystyle ae^{i\varphi }}
(参见欧拉公式 )。接着所有的n 次方根给出为:
e
(
φ
+
2
k
π
n
)
i
×
a
n
{\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
,这裡的
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
表示
a
{\displaystyle a}
的主
n
{\displaystyle n}
次方根。
正实数 [ 编辑 ]
所有
x
n
=
a
{\displaystyle x^{n}=a}
或
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根,这裡的
a
{\displaystyle a}
是正实数,的复数解由如下简单等式给出:
e
2
π
i
k
n
×
a
n
{\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
,这裡的
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
表示
a
{\displaystyle a}
的主
n
{\displaystyle n}
次方根。
解多项式 [ 编辑 ]
曾经有數學猜想 ,認為多项式 的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理 断言了这不是普遍为真的。例如,方程
x
5
=
x
+
1
{\displaystyle \ x^{5}=x+1}
的解不能用根号表达。
要解任何n 次方程,参见求根算法 。
對於正數
A
{\displaystyle A}
,可以通過以下算法求得
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
的值:
猜一個
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
的近似值,將其作為初始值
x
0
{\displaystyle x_{0}}
設
x
k
+
1
=
1
n
[
(
n
−
1
)
x
k
+
A
x
k
n
−
1
]
{\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}
。記誤差為
Δ
x
k
=
1
n
[
A
x
k
n
−
1
−
x
k
]
{\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]}
,即
x
k
+
1
=
x
k
+
Δ
x
k
{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}}
。
重複步驟2,直至絕對誤差足夠小,即:
|
Δ
x
k
|
<
ϵ
{\displaystyle |\Delta x_{k}|<\epsilon }
。
從牛頓法導出 [ 编辑 ]
求
A
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}}
之值,亦即求方程
x
n
−
A
=
0
{\displaystyle x^{n}-A=0}
的根。
設
f
(
x
)
=
x
n
−
A
{\displaystyle f(x)=x^{n}-A}
,其導函數 即
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}}
。
以牛頓法 作迭代,便得
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
f
′
(
x
k
)
{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}
=
x
k
−
x
k
n
−
A
n
x
k
n
−
1
{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}
=
x
k
−
x
k
n
+
A
n
x
k
n
−
1
{\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}
=
1
n
[
(
n
−
1
)
x
k
+
A
x
k
n
−
1
]
{\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}
從牛頓二項式定理導出 [ 编辑 ]
設
x
k
{\displaystyle x_{k}}
為迭代值,
y
{\displaystyle y}
為誤差值。
令
A
=
(
x
k
−
y
)
n
{\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}}
(*),作牛頓二項式展開 ,取首兩項:
A
≈
x
k
n
−
n
x
k
n
−
1
y
{\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y}
調項得
y
≈
x
k
n
−
A
n
x
k
n
−
1
=
1
n
(
x
k
−
A
x
k
n
−
1
)
{\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)}
將以上結果代回(*),得遞歸公式
x
k
+
1
=
x
k
−
y
=
1
n
[
(
n
−
1
)
x
k
+
A
x
k
n
−
1
]
{\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]}
外部链接 [ 编辑 ]