循序可测过程

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数学中,循序可测随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质,能够保证停过程可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格[1]:4-5。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。

定义[编辑]

设有

  • 概率空间
  • 测度空间,状态空间;
  • σ-代数上的参考族
  • 随机过程指标集也可以是有限时间或离散时间)。

则随机过程是循序可测过程当且仅当对任意的时刻映射

都是 -可测的[2]:110是循序可测过程可以推出它必然是适应过程[1]:5

子集是循序可测集合当且仅当指示过程

是循序可测过程。所有循序可测的子集构成上的一个σ-代数,一般记为。一个随机过程是循序可测过程当且仅当它(在被看作上的随机变量时)是-可测的[3]:190

性质[编辑]

  • 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的,那么它是循序可测过程。特别地,左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程[3]:191
  • 是一维的标准布朗运动过程,为关于的参考族的(实值的)循序可测过程,并且满足,那么我们可以定义关于的随机积分:[2]:146-147,而且满足
    [3]:192[2]:141
  • 一个随机过程修正modification)是指另一个随机过程,满足 可以证明,尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的,但必然拥有一个循序可测的修正[2]:110

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 (英文)Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 (英文)Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 (英文)Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188.