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無窮大
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循环小数,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。
循環小數即為有理數的小數表示形式,例:
- 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
- 根據分數
的情況分開討論
- 1.除数a为
的倍數时,
有max(m,n)个不循环位数,其中
為任意自然數,
為非
之其他數。
- 2.如果
,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼存在一個正整數e,e為
的循環節位數,而e=
。[1]
表示
可以整除a,或稱
與1同餘)
- 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:
來看,
也成立,例如
與
,兩者循環小數一致,因為
,只差別在商,餘數皆為1(同餘)故成立。
- 3.承接以上兩點,當除数a可以質因數標準分解式表示成
⋯
時,會有max(m,n)個不循環位數,和
個循環節位數。
- 其中,
,
,⋯,
分別各有e1,e2,...,en個循環節位數,存在一個最小公倍數
e1,e2,...,en
。
- 例:
的循環節個數?
- 答:前三位不循環(2 和 5 的最高次方為 3),循環節個數是 48(因為
的循環節位數為1,7的循環節位數為6,17的循環節位數為16,[1,6,16]=48)[2]
- 先看有幾位「非循環節位數(
)」和「循環節位數(
)」,算出後,將
擺於「分母」。
- 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即
,詳細公式如下。
- 公式:

- 原理:
- 令
。
- 則
──①式。
──②式。
- ②-①⇒
。
。
- 範例:
。
- 令

- 則
、
- 兩式相減得
,
- ∴
。
计算方法[编辑]
利用短除法可以将分数(有理数,
)转化为循环小数。
例如
可以用短除法计算如下:
7|3.00000000000000000
0.42857142857142857...
表示方法[编辑]
在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。
不唯一性[编辑]
使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如
由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如
但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。如
参考资料[编辑]
- ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28].
- ^ 質數循環節的位數 (PDF).
外部連結[编辑]