循环小数

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

循环小数,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。

定義[编辑]

循環小數即為有理數小數表示形式,例:

性质[编辑]

  • 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
  • 除数a为的倍数时,有max(m,n)个不循环位数。
  • 如果,a不是2或5的倍数,並且a與b互質,那麼的循環節位數等於[1]表示可以整除a)

化為分數的方法[编辑]

  1. 先看有幾位「非循環節位數()」和「循環節位數()」,算出後,將擺於「分母」。
  2. 分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即,詳細公式如下。
  3. 公式:
  4. 原理:
    1. ──①式。
    2. ──②式。
    3. ②-①⇒
  5. 範例:
    • 【原理】
      1. 兩式相減得

计算方法[编辑]

利用长除法可以将分数(有理数)转化为循环小数。

例如可以用长除法计算如下:

      .4 2 8 5 7 1 4 ...
 7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0
     2 8                         30/7 = 4 r 2
       2 0
       1 4                       20/7 = 2 r 6
         6 0
         5 6                     60/7 = 8 r 4
           4 0
           3 5                   40/7 = 5 r 5
             5 0
             4 9                 50/7 = 7 r 1
               1 0
                 7               10/7 = 1 r 3
                 3 0
                 2 8             30/7 = 4 r 2  (從這裡開始重複)
                   2 0
                        等等

表示方法[编辑]

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

  • 使用「上划线」表示,如:

  • 使用「上点」表示,如:

  • 使用「大括号」表示,如:

缺点[编辑]

不唯一性[编辑]

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如

進位制系統密切相关[编辑]

由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。 如

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。 如

参考资料[编辑]

  1. ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. 

參見[编辑]

外部連結[编辑]