循环小数

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

循环小数,是從小數部分的某一位起,一個數字或幾個數字,依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。

定義[编辑]

循環小數即為有理數小數表示形式,例:

{5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}

{1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}

{1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}

特性[编辑]

  • 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。

化為分數的方法[编辑]

  1. 先看有幾位「非循環節位數({\color{blue}n\,\!})」和「循環節位數({\color{red}m\,\!})」,算出後,將{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}擺於「分母」。
  2. 分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字,將其減去「非循環節部分」,即a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n,詳細公式如下。
  3. 公式:0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}
  4. 原理:
    1. x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }
    2. 10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }──①式。
    3. 10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }──②式。
    4. ②-①⇒\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n
    5. \begin{align}
x   & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\
    & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\
    & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\
    & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\
\end{align}
  5. 範例: 0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495}
    • 【原理】
      1. x = 0.1 \overline{23}
      2. 10x = 1 . \overline{23} 1000x = 123 . \overline{23}
      3. 兩式相減得\left( 1000-10 \right)x = 123-1  990x = 122\,\!
      4.  x = \frac{61}{495}

计算方法[编辑]

利用长除法可以将分数(有理数\mathbb{Q})转化为循环小数。

例如{3 \over 7}可以用长除法计算如下:

      .4 2 8 5 7 1 4 ...
 7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0
     2 8                         30/7 = 4 r 2
       2 0
       1 4                       20/7 = 2 r 6
         6 0
         5 6                     60/7 = 8 r 4
           4 0
           3 5                   40/7 = 5 r 5
             5 0
             4 9                 50/7 = 7 r 1
               1 0
                 7               10/7 = 1 r 3
                 3 0
                 2 8             30/7 = 4 r 2  (從這裡開始重複)
                   2 0
                        等等

表示方法[编辑]

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

  • 使用「上划线」表示,如:

{1 \over 70}=0.0\overline{142857}

  • 使用「上点」表示,如:

{1 \over 70}=0.0\dot{1}4285\dot{7}

  • 使用「大括号」表示,如:

{1 \over 70}=0.0\{142857\}

缺点[编辑]

不唯一性[编辑]

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性,例如

1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots

進位制系統密切相关[编辑]

由于循环小数与進位制系統密切相关,使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。 如

{1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}

但在某些进位制当中反而因为循环节较短,使得看起来相当简单。 如

{1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}

參見[编辑]

外部連結[编辑]