循環連分數

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循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數


x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{\ddots}{\quad\ddots\quad a_k + \cfrac{1}{a_{k+1} + \cfrac{\ddots}{\quad\ddots\quad a_{k+m-1} + \cfrac{1}{a_{k+m} + \cfrac{1}{a_{k+1} + \cfrac{1}{a_{k+2} + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}\,

前k+1個部分分母不算,後面的部分分母[ak+1ak+2,…ak+m]會一直重覆出現。例如\sqrt2即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{ai}可以是任何實數或虛數。

1770年,拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數,若且唯若此數為二次無理數[1]。例如\sqrt{3}=1.732\ldots=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots]

文內注釋[编辑]

  1. ^ Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.