微分

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数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当某些函数的自变量有一个微小的改变时,函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分:在一维情况下,它正比于自变量的变化量,可以表示成和一个与无关,只与函数有关的量的乘积;在更广泛的情况下,它是一个线性映射作用在上的值。另一部分是比更高阶的无穷小,也就是说除以后仍然会趋于零。当改变量很小时,第二部分可以忽略不计,函数的变化量约等于第一部分,也就是函数在处的微分,记作。如果一个函数在某处具有以上的性质,就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微,便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中,微分被定义为变化量的线性部分,在现代的定义中,微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射给定的函数在一点的微分如果存在,就一定是唯一的。[來源請求]

一元微分[编辑]

定义[编辑]

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量,而加上灰线部分后是实际的改变量

函数在某区间内有定义。对于内一点,当变动到附近的(也在此区间内)时,如果函数的增量可表示为 (其中是不依赖于常数),而是比高阶的无穷小,那么称函数在点可微的,且称作函数在相应于自变量增量的微分,记作,即线性主部[1]:141

通常把自变量的增量称为自变量的微分,记作,即

和导数的关系[编辑]

微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的概念[1]:141。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。于是函数的微分又可记作[2]

几何意义[编辑]

曲线上的点在横坐标上的增量,曲线在点对应在纵坐标上的增量,是曲线在点切线对应在纵坐标上的增量。当很小时,要小得多(高阶无穷小),因此在点附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子[编辑]

设有函数,考虑它从某一点变到。这时,函数的改变量等于:

其中的线性主部:,高阶无穷小是。 因此函数在点处的微分是。函数的微分与自变量的微分之商,等于函数的导数。

方程式:dy/dx=d(ax^n)/dx 尤其y=ax^n

                        =nax^(n-1)

例子:y=2x²

          d(y)/dx=d(2x²)/dx   设2=a,x²=x^n,n=2
                       =nax^(n-1)
                       =(2)2x^(2-1)
                       =4x

微分法则[编辑]

和求导一样,微分有类似的法则。例如,如果设函数可微,那么:

  • 若函数可导,那么[1]:139

多元函数微分[编辑]

当自变量是多元变量时,导数的概念已经不适用了(尽管可以定义对某个分量的偏导数),但仍然有微分的概念。

定义[编辑]

是从欧几里得空间Rn(或者任意一个内积空间)中的一个开集射到Rm的一个函数。对于中的一点及其在中的邻域中的点。如果存在线性映射使得对任意这样的,

那么称函数在点处可微。线性映射叫做在点处的微分,记作

如果在点处可微,那么它在该点处一定连续,而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别,多元函数的微分也叫做全微分全导数

当函数在某个区域的每一点都有微分时,可以考虑将映射到的函数:

这个函数一般称为微分函数[3]

性质[编辑]

  • 如果是线性映射,那么它在任意一点的微分都等于自身。
  • Rn(或定义了一组标准基的内积空间)裡,函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画:
是从Rn射到Rm的函数,,那么:

具体来说,对于一个改变量:,微分值:

  • 可微的必要条件:如果函数在一点处可微,那么雅克比矩阵的每一个元素都存在,但反之不真[4]:76
  • 可微的充分条件:如果函数在一点的雅克比矩阵的每一个元素都在连续,那么函数在这点处可微,但反之不真[4]:77

例子[编辑]

函数是一个从射到的函数。它在某一点的雅可比矩阵为:

微分为:,也就是:

微分与微分形式[编辑]

如果说微分是导数的一种推广,那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点给出一个近似描述函数性质的线性映射,而微分形式对区域内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式。在坐标记法下,可以写成:

其中的-射影算子,也就是说将一个向量射到它的第个分量的映射。而是满足:

k-形式。

特别地,当是一个从Rn射到R 的函数时,可以将写作:

正是上面公式的一个特例[5]

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 欧阳光中 姚允龙 周渊 编. 《数学分析(上册)》. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7309035704. 
  2. ^ 梁子杰. 「可微」還是「可導」? (PDF). 數學教育. 
  3. ^ 微分函数. 逢甲大学网路教学实验室. 
  4. ^ 4.0 4.1 徐森林,薛春华. 《数学分析(第二册)》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0. 
  5. ^ B.A.卓里奇 著,蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183页.
  • 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
  • Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.