微分代数

在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。

微分环

一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环

$\partial :R\to R$$\partial :R\to R$

使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则：

$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),$$\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),$

对任何 $r_{1},r_{2}\in R$$r_{1},r_{2}\in R$。注意环可能不交换，从而稍微标准的交换环情形的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果 $M:R\times R\to R$$M:R\times R\to R$ 是环上的乘法，乘积法则是恒等式

$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).\,$$\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id})+M\circ (\operatorname {id}\otimes \partial ).\,$

这里 $f\otimes g$$f\otimes g$ 表示函数将二元组 $(x,y)$$(x,y)$ 映到二元组 $(f(x),g(y))$$(f(x),g(y))$。

微分域

一个微分域是带有一个导子的域 K。微分域 DF 的理论，由通常域公理与另外关于导子的两个公理。和上面一样，导子在域的元素上必须服从乘积法则，或莱布尼兹法则，这是导子称为导子的原因。即对域中任何两个元素 u 与 v 有

$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,$$\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,$

由于域上的乘法可交换。导子也必须对域加法有分配律

$\partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,$$\partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,$

如果 K 是一个微分域则常数域 $k=\{u\in K:\partial (u)=0\}$$k=\{u\in K:\partial (u)=0\}$。

微分代数

域 K 上一个微分代数是一个 K-代数 A，其中的导子与域可交换。即对所有 $k\in K$$k\in K$ 与 $x\in A$$x\in A$ 有

$\partial (kx)=k\partial x.\,$$\partial (kx)=k\partial x.\,$

在不用指标记法中，如果 $\eta \colon K\to A$$\eta \colon K\to A$ 是定义了环上数量乘法的环同态，则有

$\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).\,$$\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id})=M\circ (\eta \times \partial ).\,$

同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则，以及对加法线性。从而，对所有 $a,b\in K$$a,b\in K$ 与 $x,y\in A$$x,y\in A$ 有

$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,$$\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,$

以及

$\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,$$\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,$

李代数上的导子

李代数 ${\mathfrak {g}}$$\mathfrak{g}$ 上一个导子是一个线性 $D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$$D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 满足莱布尼兹法则：

$D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,$$D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,$

对任何 $a\in {\mathfrak {g}},\operatorname {ad} (a)$$a\in {\mathfrak {g}},\operatorname {ad}(a)$ 是 ${\mathfrak {g}}$$\mathfrak{g}$ 上一个导子，这由雅可比恒等式可得。任何这样的导子称为内导子。

例

如果 $A$$A$ 有单位，则 ∂(1) = 0 这是因为 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如，在特征零的微分域中，有理数总是常数域的子域。

任何域可以简单地理解为一个常数微分域。

域 Q(t) 具有惟一的结构成为一个微分域，由令 ∂(t) = 1 确定：域公理与导子的公理奇异保证导子是关于 t 的导数。例如，由乘法与莱布尼兹法则的交换性有 ∂(u²) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。

微分域 Q(t) 对微分方程

$\partial (u)=u$$\partial (u)=u$

没有解。但扩充成包括函数 e^t 的更大的微分域，则这个方程有解。对任何微分方程系统有解的微分域称为微分闭域。这样的域存在，尽管它们不是作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域（有界基数）嵌入一个大微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论中的研究对象。

自然出现的导子例子是偏导数、李导数、Pincherle导数（Pincherle derivative）与关于这个代数中一个元素的交换子。所有这些例子是密切联系的，导子的概念将它们统一起来。

伪微分算子环

微分环和微分域经常通过研究它们上面的伪微分算子来研究。

这是环

$R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.$$R((\xi ^{{-1}}))=\left\{\sum _{{n<\infty }}r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.$

这个环上的乘法定义为

$(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.$$(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{{k=0}}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{{m+n-k}}.$

这里 ${m \choose k}$${m \choose k}$ 是二项式系数。注意到恒等式

$\xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}$$\xi ^{{-1}}r=\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{{-1-n}}$

这里利用了恒等式

${-1 \choose n}=(-1)^{n}$${-1 \choose n}=(-1)^{n}$

与

$r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).$$r\xi ^{{-1}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }\xi ^{{-1-n}}(\partial ^{n}r).$

另见

• 微分伽罗瓦定理（Differential Galois theory）
• 凯勒微分（Kähler differential）
• 微分闭域（Differentially closed field）
• D-模是有多个微分算子作用在它上面的代数结构。
• 微分分次代数是附加分次的一个微分代数。
• 算术导数

参考文献

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

外部链接

• David Marker's home page has several online surveys discussing differential fields.