微分代数 (英語:Differential algebra )是代数学 的一个分支,在代数中装备一个导子 就可以得到微分代数。此外,在数学 中,微分环、微分域和微分代数是环 、域 、代数 装备一个导子 ,一个满足莱布尼兹乘积法则 的一元函数 。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C (t ),其导子是关于 t 的微分。
微分环 [ 编辑 ]
一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环
∂
:
R
→
R
{\displaystyle \partial :R\to R}
使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则 :
∂
(
r
1
r
2
)
=
(
∂
r
1
)
r
2
+
r
1
(
∂
r
2
)
,
{\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),}
对任何
r
1
,
r
2
∈
R
{\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}
。注意环可能不交换,从而稍微标准的交换环情形的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果
M
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle M:R\times R\to R}
是环上的乘法,乘积法则是恒等式
∂
∘
M
=
M
∘
(
∂
⊗
id
)
+
M
∘
(
id
⊗
∂
)
.
{\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).\,}
这里
f
⊗
g
{\displaystyle f\otimes g}
表示函数将二元组
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
映到二元组
(
f
(
x
)
,
g
(
y
)
)
{\displaystyle (f(x),g(y))}
。
微分域 [ 编辑 ]
一个微分域是带有一个导子的域 K 。微分域 DF 的理论,由通常域公理与另外关于导子的两个公理。和上面一样,导子在域的元素上必须服从乘积法则,或莱布尼兹法则,这是导子称为导子的原因。即对域中任何两个元素 u 与 v 有
∂
(
u
v
)
=
u
∂
v
+
v
∂
u
,
{\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,}
由于域上的乘法可交换。导子也必须对域加法有分配律
∂
(
u
+
v
)
=
∂
u
+
∂
v
.
{\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,}
如果 K 是一个微分域则常数域
k
=
{
u
∈
K
:
∂
(
u
)
=
0
}
{\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}}
。
微分代数 [ 编辑 ]
域 K 上一个微分代数是一个 K -代数 A ,其中的导子与域可交换。即对所有
k
∈
K
{\displaystyle k\in K}
与
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
有
∂
(
k
x
)
=
k
∂
x
.
{\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.\,}
在不用指标记法中,如果
η
:
K
→
A
{\displaystyle \eta \colon K\to A}
是定义了环上数量乘法的环同态 ,则有
∂
∘
M
∘
(
η
×
Id
)
=
M
∘
(
η
×
∂
)
.
{\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).\,}
同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则,以及对加法线性。从而,对所有
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,b\in K}
与
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
有
∂
(
x
y
)
=
(
∂
x
)
y
+
x
(
∂
y
)
,
{\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,}
以及
∂
(
a
x
+
b
y
)
=
a
∂
x
+
b
∂
y
.
{\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,}
李代数上的导子 [ 编辑 ]
李代数
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
上一个导子是一个线性
D
:
g
→
g
{\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
满足莱布尼兹法则:
D
(
[
a
,
b
]
)
=
[
a
,
D
(
b
)
]
+
[
D
(
a
)
,
b
]
{\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,}
对任何
a
∈
g
,
ad
(
a
)
{\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},\operatorname {ad} (a)}
是
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
上一个导子,这由雅可比恒等式可得。任何这样的导子称为内导子 。
如果
A
{\displaystyle A}
有单位 ,则 ∂(1) = 0 这是因为 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如,在特征 零的微分域中,有理数总是常数域的子域。
任何域可以简单地理解为一个常数微分域。
域 Q (t ) 具有惟一的结构成为一个微分域,由令 ∂(t ) = 1 确定:域公理与导子的公理奇异保证导子是关于 t 的导数。例如,由乘法与莱布尼兹法则的交换性有 ∂(u 2 ) = u ∂(u ) + ∂(u )u = 2u ∂(u )。
微分域 Q (t ) 对微分方程
∂
(
u
)
=
u
{\displaystyle \partial (u)=u}
没有解。但扩充成包括函数 e t 的更大的微分域,则这个方程有解。对任何微分方程系统有解的微分域称为微分闭域 。这样的域存在,尽管它们不是作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域(有界基數 )嵌入一个大微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论 中的研究对象。
自然出现的导子例子是偏导数 、李导数 、Pincherle导数 与关于这个代数中一个元素的交换子 。所有这些例子是密切联系的,导子的概念将它们统一起来。
伪微分算子环 [ 编辑 ]
微分环和微分域经常通过研究它们上面的伪微分算子 来研究。
这是环
R
(
(
ξ
−
1
)
)
=
{
∑
n
<
∞
r
n
ξ
n
|
r
n
∈
R
}
.
{\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}
这个环上的乘法定义为
(
r
ξ
m
)
(
s
ξ
n
)
=
∑
k
=
0
m
r
(
∂
k
s
)
(
m
k
)
ξ
m
+
n
−
k
.
{\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}
这里
(
m
k
)
{\displaystyle {m \choose k}}
是二项式系数 。注意到恒等式
ξ
−
1
r
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
∂
n
r
)
ξ
−
1
−
n
{\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}
这里利用了恒等式
(
−
1
n
)
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}
与
r
ξ
−
1
=
∑
n
=
0
∞
ξ
−
1
−
n
(
∂
n
r
)
.
{\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}
参考文献 [ 编辑 ]
Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry , Hermann (1994).
I. Kaplansky, Differential Algebra , Hermann (1957).
E. Kolchin , Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields , Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994
外部链接 [ 编辑 ]