志村簇

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數學中的代數幾何數論領域,志村簇是一類特殊的代數簇,可視之為模曲線在高維度的類推。粗略地說,志村簇乃是埃爾米特對稱空間對某個代數群同餘子群的商;最簡單的例子是上半平面對 \mathrm{SL}_2(\Z) 的商。一維的志村簇有時也被稱為志村曲線

志村五郎在1960年代研究了上述商空間的緊化,其目的在推廣複乘法理論及互逆律[1];在此需要的基本結果是 Baily-Borel 定理(1966)[2]。此後,人們也發現志村簇是某類霍奇結構模空間

典範模型[编辑]

按照定義,志村簇本身僅是一個複流形。志村五郎證明了每個志村簇都可以定義在一個唯一確定的數域 K 上,由此也可解釋志村簇與數論問題的關聯。這個結果是志村五郎陳述其互逆律的出發點。

在郎蘭茲綱領中的角色[编辑]

志村簇在郎蘭茲綱領扮演重要地位。根據郎蘭茲的猜想,對任一定義在數域 K 上的代數簇 X,其哈瑟-韋伊ζ函數將會來自一個自守表示。至今已知的結果全是 X 為志村簇的情形。

在這個方向上,一個指導性的結果是 Eichler-志村同餘關係:此結果保證了模曲線的哈瑟-韋伊ζ函數可表成源自模形式的L函數之積,其中每個模型式的權都是二,並具有明確的表示式。事實上,志村五郎發展其理論的動機就是推廣這個結果。

文獻[编辑]

  • James Arthur (Editor), David Ellwood (Editor), Robert Kottwitz (Editor) Harmonic Analysis, the Trace Formula, and Shimura Varieties: Proceedings of the Clay Mathematics Institute, 2003 Summer School, the Fields Institute, (Clay Mathematics Proceedings,) ISBN 082183844X
  • Deligne, Pierre; Milne, James S.; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3 MR0654325
  • Deligne, Pierre Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques. Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, pp. 247--289, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. MR0546620
  • Deligne, Pierre Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123--165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. MR0498581
  • J. Milne, Shimura varieties and motives U. Jannsen (ed.) S. Kleiman (ed.) J.-P. Serre (ed.) , Motives , Proc. Symp. Pure Math. , 55: 2 , Amer. Math. Soc. (1994) pp. 447–523
  • J.S. Milne, Shimura variety//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • J. S. Milne Introduction to Shimura varieties, chapter 2 of the book edited by Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2003)
  • Shimura, Goro, The Collected Works of Goro Shimura (2003), five volumes

註記[编辑]

  1. ^ 見其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions
  2. ^ Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.

外部連結[编辑]