快度

在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數artanh來定義快度，當速度為v時，其對應的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度較慢時，w約為v / c。由於在相對論中，速度v被局限於區間−c < v < c，因此比率v / c將滿足−1 < v / c < 1。反雙曲正切函數的定義域為(−1, 1)，而值域為整條實數線，所以可以將區間−c < v < c映射到−∞ < w < ∞。

歷史

在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的雙曲旋轉，即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。

1910年，弗拉基米爾·瓦里卡克和E. T. 惠特克提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被阿爾弗雷德·羅伯 (1911)命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。

雙曲線扇形面積

雙曲函數xy=1的求積法，是由格雷瓜爾·德·聖-文森特提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。 在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點$(1,1)$。任何一個雙曲線上的點都能以點$(e^{w},\ e^{-w})$ 表示，其中的w即為快度，同時w也是從點$(1,1)$ 到點$(e^{w},\ e^{-w})$與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線$x^{2}-y^{2}$，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

在一維空間中

快度w出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積

${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}$

矩陣Λ(w)為${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$的形式，其中p和q滿足關係p² - q² = 1，因此(p, q)將會落在單位雙曲線上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。 在矩陣指數表示法中，Λ(w)可以被表示為$\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$，其中Z是單位反對角矩陣

$\mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

不難證明

$\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})$

這顯現出了快度實用的求和性質：若A，B和 C為參考座標系，則

$w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}$

其中 w_PQ 表示了參考座標系Q相對於參考座標系P的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於cosh w

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w$

因此快度w作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的γ和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

$u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})$

藉由

$\beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}$

從而得到

${\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}$

β和γ的乘積時常出現，從先前的討論可知

$\beta \gamma =\sinh w\,$

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。

指數和對數關係

由上述的表達式可以得到

$e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}$

因此

$e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}$

或是更加清楚地表示為

$w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,$

相對論性都普勒效應因子與快度w的關係為$k=e^{w}$。

在多維空間中

相對論性速度${\boldsymbol {\beta }}$與快度$\mathbf {w}$为下列關係所聯繫

${\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},$

其中的向量$\mathbf {w}$是勞倫茲群對應的李代數${\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)$中，由三個推進生成元$K_{1},K_{2},K_{3}$張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的${\mathfrak {o}}(1,1)$。因為光速$c$是速度量值的上限（選用單位使得$c=1$），所以速度符合條件$|\beta |<1$，因此速度空間可以用一個半徑為$1$的開球$\mathbb {B} ^{3}$表示。

一般性的快度求和公式為

$\mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},$

其中${\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}$對應到速度加成式，${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$是${\boldsymbol {\beta }}$方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為$\theta$的快度$\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}$之和的模$w\equiv |\mathbf {w} |$（歐氏空間中的長度）由餘弦的雙曲關係給出

$\cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta$

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立保距同構。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量${\boldsymbol {\theta }}$來參數化的旋轉，兩者組合而成。

$\Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }$

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。 這是交換法則所致的結果

$[K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}$

其中$J_{k}$是旋轉群的生成元，$(k=1,2,3)$，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數${\boldsymbol {\theta }}$的計算方法。

在粒子物理中

一個非零（靜止）質量m粒子的能量E以及動量的大小|p| 為：

$E=\gamma mc^{2}$

$|\mathbf {p} |=\gamma mv$

透過快度w的定義

$w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}$

並且

$\cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma$

$\sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma$

能量和動量大小可以被表示為

$E=mc^{2}\cosh w$

$|\mathbf {p} |=mc\,\sinh w$

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：

$w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}$

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

$y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}$

其中p_z是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。

參見

• Bondi k-calculus
• 勞倫茲變換
• 贗快度
• 固有速度
• 相對論

參考文獻

• Varićak V (1910), (1912), (1924) See Vladimir Varićak#Publications
• Whittaker, E. T. A history of the theories of aether and electricity: 441. 1910 [22 January 2016]. 
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• 埃米爾·博雷爾 (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
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• Vladimir Karapetoff (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", 赫爾曼·邦迪 43:70.
• 法蘭克·莫雷 (1936) "When and Where", The Criterion, edited by T.S. Eliot, 15:200-2009.
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