快度

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相對論中,快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上,快度可以被定義成一個雙曲角,這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動,快度可以簡單相加,而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下,快度和速度是成比例的,但是對於更高速的狀況下,快度將增長得更快。特别地,光的速度為光速,而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數artanh來定義快度,當速度為v時,其對應的快度ww = artanh(v / c),其中c是光速。速度較慢時,w約為v / c。由於在相對論中,速度v被局限於區間c < v < c,因此比率v / c將滿足−1 < v / c < 1。反雙曲正切函數的定義域(−1, 1),而值域為整條實數線,所以可以將區間c < v < c映射到−∞ < w < ∞

歷史[编辑]

Hyperbolic sector.svg

在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的雙曲旋轉英语hyperbolic rotation,即為一個虛數角度的旋轉。[1] 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量,且具有可加性。[2]

1910年,弗拉基米爾·瓦里卡克英语Vladimir Varićak[3]E. T. 惠特克英语E. T. Whittaker[4]提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被阿爾弗雷德·羅伯英语Alfred Robb (1911)[5]命名為快度,並隨後被許多筆者所採用,如盧迪威格·席柏斯坦 (1914),愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。

雙曲線扇形面積[编辑]

雙曲函數xy=1的求積法英语quadrature (mathematics),是由格雷瓜爾·德·聖-文森特英语Gregoire de Saint-Vincent提出的,他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積,可以用自然對數描述。 在時空理論中,類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“(絕對)過去”、“(絕對)未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上,一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸,向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示,其中速度為零的點對應到點。任何一個雙曲線上的點都能以點 表示,其中的w即為快度,同時w也是從點 到點與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時,會使用單位雙曲線英语unit hyperbola,將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量,並選用更加常見的基準,這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數,這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展,以及閔考斯基圖。

在一維空間中[编辑]

快度w出現在勞倫茲變換的線性表示法中,此時勞倫茲變換被表示為向量-矩陣乘積

矩陣Λ(w)的形式,其中pq滿足關係p2 - q2 = 1,因此(p, q)將會落在單位雙曲線英语unit hyperbola上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1),伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數,顯示出快度是這個李代數上的座標,這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。 在矩陣指數表示法中,Λ(w)可以被表示為,其中Z是單位反對角矩陣

不難證明

這顯現出了快度實用的求和性質:若ABC參考座標系,則

其中 wPQ 表示了參考座標系Q相對於參考座標系P的快度。與速度加成式相比,這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出,勞倫茲因子等同於cosh w

因此快度w作為一個雙曲角,隱含在勞倫茲轉換中的γβ中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

藉由

從而得到

βγ的乘積時常出現,從先前的討論可知

固有加速度(一個加速物體實質感受到的加速度)是快度對於固有時間(一個加速物體本身所量測到的時間)的變化率。假想在物體的運動過程中,與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系,若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度,則計算結果將是這個物體的快度。

指數和對數關係[编辑]

由上述的表達式可以得到

因此

或是更加清楚地表示為

相對論性都普勒效應因子與快度w的關係為

在多維空間中[编辑]

相對論性速度與快度为下列關係所聯繫[6]

其中的向量勞倫茲群對應的李代數中,由三個推進生成元英语Representation theory of the Lorentz group#Conventions and Lie algebra bases張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的。因為光速是速度量值的上限(選用單位使得),所以速度符合條件,因此速度空間可以用一個半徑為的開球表示。

一般性的快度求和公式為[7][nb 1]

其中對應到速度加成式方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為的快度之和的模(歐氏空間中的長度)由餘弦的雙曲關係英语hyperbolic law of cosines給出[8]

快度空間上的幾何結構,透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地,這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。[9]因此,二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像[10],其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間,可以透過同樣的方法,與雙曲面模型建立保距同構英语Isometry (Riemannian geometry)閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值,整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量來參數化的旋轉,兩者組合而成。

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。 這是交換法則所致的結果

其中旋轉群的生成元,,這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數的計算方法。

在粒子物理中[编辑]

一個非零(靜止)質量m粒子的能量E以及動量的大小|p| 為:

透過快度w的定義

並且

能量和動量大小可以被表示為

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出:

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

其中pz是沿著粒子束方向的動量分量[11]。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度,相關的概念可以參考條目贗快度

參見[编辑]

注釋[编辑]

  1. ^ 這可以被理解成,欲求給定兩個速度所對應到的快度和,實際上就是在對原速度作相對論性的求和,再求出該速度對應的快度。此外,快度從上也繼承了三維向量加法的求和性質,這是與上述快度和不同的一種和。在下文提到「快度求和」時,請依照上下文判斷是哪一種求和。

參考文獻[编辑]

  1. ^ 赫爾曼·閔考斯基 (1908) Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies via Wikisource
  2. ^ Sommerfeld, Phys. Z 1909
  3. ^ 弗拉基米爾·瓦里卡克英语Vladimir Varicak (1910)Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity Physikalische Zeitschrift 經由維基文庫
  4. ^ 埃德蒙·泰勒·惠特克英语E. T. Whittaker (1910) A History of the Theories of the Aether and Electricity, 第441頁,經由互聯網檔案館.
  5. ^ 阿爾弗雷德·羅伯英语Alfred Robb (1911) Optical Geometry of Motion p.9
  6. ^ Jackson 1999,第547页
  7. ^ Rhodes & Semon 2003
  8. ^ Robb 1910, Varićak 1910,Borel 1913
  9. ^ Landau & Lifshitz 2002,Problem p. 38
  10. ^ Rhodes & Semon 2003
  11. ^ Amsler, C. et al., "The Review of Particle Physics", Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2
  • Varićak V英语Vladimir Varićak (1910), (1912), (1924) See Vladimir Varićak#Publications英语Vladimir Varićak#Publications
  • Whittaker, E. T. A history of the theories of aether and electricity: 441. 1910 [22 January 2016]. 
  • Robb, Alfred. Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity. Cambridge: Heffner & Sons. 1911. 
  • 埃米爾·博雷爾 (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
  • Silberstein, Ludwik. The Theory of Relativity. London: Macmillan & Co. 1914. 
  • Vladimir Karapetoff英语Vladimir Karapetoff (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", 赫爾曼·邦迪 43:70.
  • 法蘭克·莫雷 (1936) "When and Where", The Criterion, edited by T.S. Eliot, 15:200-2009.
  • 沃夫岡·潤德勒 (2001) Relativity: Special, General, and Cosmological, page 53, 牛津大學出版社.
  • Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, v. 1, page 229, Academic Press英语Academic Press ISBN 0-12-639201-3.
  • Walter, Scott. The non-Euclidean style of Minkowskian relativity (PDF). (编) J. Gray. The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford University Press. 1999: 91–127. (see page 17 of e-link)
  • Rhodes, J. A.; Semon, M. D. Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession. Am. J. Phys. 2004, 72: 93–90. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. arXiv:gr-qc/0501070. doi:10.1119/1.1652040. 
  • Jackson, J. D. Chapter 11. Classical Electrodynamics 3d. John Wiley & Sons. 1999 [1962]. ISBN 0-471-30932-X.