悬链线

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不同的悬链线
鐵鏈形式的悬链线。
蜘蛛絲形成多個(近似的)悬链线。

悬链线是一种常用曲线,物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状,因此而得名。它的公式为:

y = a\cosh \frac{x}{a}或者简单地表示为y=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})

其中cosh是雙曲余弦函数,a 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数x軸為其準線。具体来说,a=\frac{T_0}{g\lambda},其中g是重力加速度,\lambda是线密度(假设绳子密度均匀),而T_0是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了T_0

\frac{L}{a}=\sinh\frac{d}{a}

其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。

方程的推导[编辑]

表达式的证明

如右图,设最低点A处受水平向左的拉力H,右悬挂点处表示为C点,在AC弧线区段任意取一段设为B点,则B受一个斜向上的拉力T,设T和水平方向夹角为\theta,绳子的质量为m,受力分析有: 注释 注释

T\sin\theta=mg

T\cos\theta=H

tan\theta=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{mg}{H}

mg=\rho s, 其中s是右段AB绳子的长度,\rho是绳子线重量密度,代入得微分方程\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\rho s}{H};利用弧长公式\mathrm{d}s=\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x;所以s=\int\sqrt{1+\dfrac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\mathrm{d}x;

所以把s代入微分方程得\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\rho\int\sqrt{1+\frac{\mathrm{d}y^2}{\mathrm{d}x^2}}\frac{\mathrm{d}x}{H}\ \cdots\cdots\ (1)

对于(1)p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}微分处理

p'=\frac{\rho}{H}\sqrt{1+p^2}\ \cdots\cdots\ (2)

p'=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x};

对(2)分离常量求积分

\int\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int\frac{\rho}{H*dx}

ln(p+\sqrt{1+p^2})=\frac{\rho x}{H+C},即asinhp(反双曲正弦)=\frac{\rho x}{H+C}

当x=0时,\frac{dy}{dx}=p=0;带入得C=0;

整理得asinhp=\frac{\rho x}{H} 另祥解:(\ln[p+\sqrt{1+p^2}]=\frac{\rho x}{H});

p=sh(\frac{\rho x}{H})1+p^2=e^{\frac{2\rho x}{H}}-2pe^{\frac\rho{x}{H}}+p^2);

(p=[e^(\frac{\rho x}{H})-e^(-\frac{\rho x}{H})]/2=\frac{dy}{dx});

y=ch (\frac{\rho x}{H})* H \div \rhoy=\frac{H}{2\rho}e^{\frac{\rho x}{H}}+e^{\frac{\rho x}{H}}] );

令a=H/ρ: y=a*cosh (x/a)

(y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。

工程中的应用[编辑]

悬索桥双曲拱桥架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用,a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式及图像如下:

y = a\ \left( \cosh \frac{x}{a} -1 \right)
File:Catenary02.png

还有以下几个公式,可能也有用:

L = a\ \sinh \frac{x}{a}
\tan \alpha = \sinh \frac{x}{a}
F_0 = a\ \gamma

其中L是曲线中某点到0点的链索长度,\alpha是该点的正切角,F_0是0点处的水平张力,\gamma是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

參見[编辑]