應力-能量張量

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應力-能量張量,也稱應力-能量-動量張量能量-應力張量能量-動量張量,在物理學中是一個張量,描述能量動量在時空中的密度通量(flux),其為牛頓物理應力張量的推廣。在廣義相對論中,其為重力場的源,一如牛頓重力理論質量是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用,尤其是在愛因斯坦場方程式

定義[编辑]

請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示,x0代表時間,其他座標項x1, x2及x3則為剩下的空間分量。

應力-能量張量為一個二階張量T^{ab},給出四維動量或4-動量之a分量通過一座標為常數xb之表面的通量。 另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當自旋張量為零時),亦即

T^{ab} = T^{ba} \,

自旋張量S非零,則

\partial_{\alpha}S^{\mu\nu\alpha} = T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu}

例子[编辑]

此處舉出一些特例:

T^{00}

代表能量密度

T^{0i}

代表能量通過xi表面之通量,等同於

T^{i0},

i 動量之密度。

分量

 T^{ij}

代表i 動量通過xj表面之通量。其中較特別的是:

 T^{ii}

代表一個類似壓力張應力的物理量——正向應力(normal stress),而

 T^{ij}, \quad i \ne j

代表剪應力(shear stress)。

提醒:在固態物理流體力學中,應力張量所指為應力-能量張量於共動參考系(comoving frame of reference)的空間分量。換句話說,工程學中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。

作為諾特流(Noether current)[编辑]

應力-能量張量滿足連續性方程式(continuity equation)

\nabla_b T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0.

此一物理量

\int d^3x T^{a0}

是對一類空切面積分,得出能量-動量向量。分量T^{a0}因此可以詮釋為(非重力的)能量與動量之局域密度,而連續性方程式的第一分量

 \nabla_b T^{0b} = \nabla \cdot \mathbf{p} - \frac{\partial E}{\partial t} = 0

則單純是能量守恆的表述。空間分量T^{ij} (i, j = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的應力分量,其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流(Noether current)

於廣義相對論中[编辑]

上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中,對稱形式的張量,也就是額外滿足

T^{ab} = T^{ba}

的關係的張量成為時空曲率的源,並且是與規範变換(gauge transformation)相應的流密度(current density),在此是以座標变換為例。若有扭率(torsion),則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦-嘉當重力

在廣義相對論中,平直時空所用的偏導數(偏微分,partial derivative)修改為協變導數(covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限,這一點有一個簡單的解釋:與引力位能互相交換的能量,它沒有包含在能動張量中,而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中,無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量;任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下,對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆",我們必須感到心滿意足。

在彎曲時空中,一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量(原文誤為'vector')。


愛因斯坦場方程式[编辑]

在廣義相對論中,應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中,方程式常寫為:

R_{\alpha \beta} - {1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta} = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha \beta},

其中R_{\alpha \beta}里奇張量, R為里奇純量(對里奇張量做張量縮併(tensor contraction)而得),以及G宇宙重力常數(universal gravitational constant).

特殊情况下的应力-能量张量[编辑]

孤立粒子[编辑]

在狭义相对论中,质量为m的无相互作用粒子的应力-能量张量为:

T^{\alpha \beta}[t,x,y,z] = \frac{m \, v^{\alpha}[t] v^{\beta}[t]}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \delta(x - x[t]) \delta(y - y[t]) \delta(z - z[t])

其中δ是狄拉克δ函数v^{\alpha} \!是速度矢量:


\begin{pmatrix}
v^0 [t] \\ v^1 [t] \\ v^2 [t] \\ v^3 [t]
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
1 \\ {d x [t] \over d t} \\ {d y [t] \over d t} \\ {d z [t] \over d t}
\end{pmatrix}
.

处于平衡状态下的流体的应力-能量张量[编辑]

对于处于热平衡状态下的流体,应力-能量张量具有一个特别简单的形式:

T^{\alpha \beta} \, = (\rho + {p \over c^2})u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}

其中\rho是质量-能量密度(牛顿每立方米),p是流体静压力(牛顿每平方米),u^{\alpha}是流体的四维速度g^{\alpha \beta}度量张量的逆。

四维速度满足:

u^{\alpha} u^{\beta} g_{\alpha \beta} = - c^2 \,.

在随流体一起移动的惯性参考系中,四维速度为:

u^{\alpha} = (1, 0, 0, 0) \,,

度量张量的倒数为:


g^{\alpha \beta} \, = \left( \begin{matrix}
                   - c^{-2} & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 1 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 1    
      \end{matrix} \right)
\,,

应力-能量张量是一个对角矩阵:



      T^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix}
                   \rho & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & p & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & p & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & p    
      \end{matrix} \right).

电磁应力-能量张量[编辑]

一个无源电磁场的应力-能量张量为:

 T^{\mu \nu} (x) = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)

其中 F_{\mu \nu} 电磁张量

标量场[编辑]

满足克莱因-戈尔登方程的标量场\phi 的应力-能量张量为:

T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .

各式各樣的應力-能量張量[编辑]

存在有一些互不相等的應力-能量張量。

正則(Canonical)應力-能量張量[编辑]

其為與時空平移相關的諾特流

希爾伯特應力-能量張量[编辑]

應力-能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數(functional derivative)

T^{\mu\nu}(x)=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \mathcal{S}_{\mathrm{matter}}}{\delta g_{\mu\nu}(x)}

其中Smatter作用量的非重力部份,為對稱的且有規範不變性

Belinfante-Rosenfeld應力-能量張量[编辑]

赝張量(Pseudotensors)[编辑]

赝張量的例子有愛因斯坦赝張量藍道-里夫須茲赝張量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

相關條目[编辑]

外部連結[编辑]