懸鏈曲面

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懸鏈曲面
A catenoid obtained from the rotation of a catenary
懸鏈線繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面

懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一个曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得(見右側動畫),故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被发现的最小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。[3] 懸鏈曲面可被以下參數式所定義:

其中為非零實數。 在圓柱座標系則有:

其中為實數。

把兩個圓形浸泡於一肥皂溶液裏,再緩慢地把那兩個圓形分隔開,就可以製作出一個懸鏈曲面的物理模型。

螺旋面變換[编辑]

此動畫展示了螺旋面如何變型成懸鏈曲面

螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面,我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說,我們可以用一個連續等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份,且在變型的每一瞬間,曲面皆為最小曲面。此變換可由下列式子給出:

注意,且變換參數滿足

其中 對應到右旋螺旋面, 對應到懸鏈曲面, 對應到左旋螺旋面。

參見[编辑]

  • ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
  • ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
  • ^ Catenoid at MathWorld