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截半二十面体

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截半二十面体
截半二十面体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別半正多面體
對偶多面體菱形三十面體在维基数据编辑
識別
名稱截半二十面体
參考索引U24, C28, W12
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
id在维基数据编辑
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram
CDW dot.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施萊夫利符號
r{5,3}
t1{5,3}在维基数据编辑
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
2 | 3 5
康威表示法aD在维基数据编辑
性質
32
60
頂點30
歐拉特徵數F=32, E=60, V=30 (χ=2)
組成與佈局
面的種類正三角形
正五邊形
面的佈局
英语Face configuration
20個{3}
12個{5}
頂點圖3.5.3.5
對稱性
對稱群Ih
特性
quasiregular
圖像
立體圖 Icosidodecahedron vertfig.png
3.5.3.5
頂點圖
Rhombictriacontahedron.svg
菱形三十面體
對偶多面體
Icosidodecahedron flat.svg
展開圖

幾何學中,截半二十面體是一種由正五邊形正三角形組成的三十二面體[1],是一種阿基米德立體。其每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點、每條稜都是三角形和五邊形交稜,因此具有每個頂角相等和二面角相等的性質,因此截半二十面體是半正多面體也是擬正多面體

性質[编辑]

截半二十面體每個頂點都是2個三角形和2個五邊形的公共頂點,其頂點圖可以用 表示,也可以簡寫為 [2]

截半二十面體每十條棱可以成為一個正十边形,共有六個獨立的十邊形。而這六個獨立的十邊形也可以獨立地與立體中的三角形或五邊形單獨構成星形多面體

體積與表面積[编辑]

邊長為a的截半二十面體的表面積約為體積約為,可由下列算式計算[3]

二面角[编辑]

截半二十面體是一種稜可遞的多面體,即每個稜、二面角以及組成二面角的兩個面和其他稜的組成都具相同的性質,因此其具有所有二面角相等的性質。截半二十面體的二面角[4]

頂點坐標[编辑]

邊長為單位長且幾何中心位於原點的截半二十面體,其頂點坐標[5][6]

[7]
1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)[7]

其中φ是黃金比例,值為

作法[编辑]

將一個正十二面體正二十面體進行截半變換即可得到一個截半二十面體,因此截半二十面體又稱截半十二面體,即截半與對偶截半等價。

正交投影[编辑]

截半二十面體有四種具有特殊對稱性的正交投影,分別是頂點為中心、邊為中心、三角形面為中心以及五邊形面為中心。所述後者兩種正交投影,其對稱性對應於A2 和 H2的考克斯特平面[8]

截半二十面體的正交投影
建立於 頂點 三角形面 五邊形面
圖像 Dodecahedron t1 v.png Dodecahedron t1 e.png Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png
投影對稱性 [6] [10]
對偶圖像 Dual dodecahedron t1 v.png Dual dodecahedron t1 e.png Dual dodecahedron t1 A2.png Dual dodecahedron t1 H3.png

相關多面體及鑲嵌[编辑]

相關多面體[编辑]

有八種均勻的星形多面體以及2種複合多面體與截半二十面體有著相同的頂點排佈:

原始形狀
星形 Icosidodecahedron.png
截半二十面體
Small icosihemidodecahedron.png
小二十面半十二面體[9]
Small dodecahemidodecahedron.png
小十二面半十二面體[9]
星形多面體 Great icosidodecahedron.png
大截半二十面體
Great dodecahemidodecahedron.png
大十二面半十二面體
Great icosihemidodecahedron.png
大二十面半十二面體
Dodecadodecahedron.png
十二合十二面體
Small dodecahemicosahedron.png
小十二面半二十面體
Great dodecahemicosahedron.png
大十二面半二十面體
複合多面體 Compound of five octahedra.png
五複合正八面體
UC18-5 tetrahemihexahedron.png
五複合四面半六面體

截半二十面體是正二十面體經過截半變換後的結果,其他也是由正二十面體透過康威變換得到的多面體有:

正二十面体家族半正多面体
對稱群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
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Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
node_f1 5 node 3 node  node_f1 5 node_f1 3 node  node 5 node_f1 3 node  node 5 node_f1 3 node_f1  node 5 node 3 node_f1  node_f1 5 node 3 node_f1  node_f1 5 node_f1 3 node_f1  node_fh 5 node_fh 3 node_fh 
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 137, 1987. ISBN 978-0486253572
  2. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Icosidodecahedron. (3.5)2." §3.7.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 108, 1989.
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  4. ^ Archimedean Solids: Icosidodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  5. ^ The Icosidodecahedron. eusebeia. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-12-03). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ 7.0 7.1 Klitzing, Richard. icosidodecahedron: o3x5o - id. bendwavy.org. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-03-24). 
  8. ^ Coxeter Planes页面存档备份,存于互联网档案馆) and More Coxeter Planes页面存档备份,存于互联网档案馆約翰·史坦布里奇英语John Stembridge
  9. ^ 9.0 9.1 icosidodecahedron:Id-facetings. polyedergarten. [2016-08-30]. (原始内容存档于2017-01-11). 

外部連結[编辑]