截半大十二面體

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截半大十二面體
截半大十二面體
(點選檢視旋轉模型)
類別 星形均勻多面體
24
60
頂點 30
歐拉特徵數 F=24, E=60, V=30 (χ=-6)
頂點圖 5.5/2.5.5/2
頂點佈局英语Vertex_configuration 12{5}+12{5/2}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 | 5 5/2
2 | 5 5/3
2 | 5/2 5/4
2 | 5/3 5/4
對稱群 Ih, [5,3], *532
參考索引 U36, C45, W73
對偶 內側菱形三十面體
特性 Bowers acronym:
Did
Dodecadodecahedron vertfig.png
5.5/2.5.5/2
頂點圖
DU36 medial rhombic triacontahedron.png
內側菱形三十面體
(對偶多面體)

幾何學中,截半大十二面體是一種星形均勻多面體,由12個正五邊形和12個正五角星組成,可以視為大十二面體或小星形十二面體截去所有頂點所產生的形狀。其對偶多面體為內側菱形三十面體。在抽象理論中,截半大十二面體可以視為五種無法良好具像化的抽象正多面體被部分具象化的結果。截半大十二面體由3個學者獨立發現,分別是埃德蒙·赫斯[1]、芭杜歐[2]和皮奇[3]

性質[编辑]

截半大十二面體是一種非凸多面體,由24個面、60條邊和30個頂點組成[4],由於其具有點可遞的特性,因此屬於均勻非凸多面體之一,這種立體共有53種。在考克斯特、邁克爾·S·朗格·希金斯與傑弗里·查爾斯·珀西·米勒的書《均勻多面體》中,截半大十二面體被編號為U36,其也收錄於考克斯特的研究中,並且給予索引編號C45,1983年時,溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型,其中也收錄了此種形狀,並給予編號W73[5]

面的組成[编辑]

截半大十二面體由12個正五邊形面和12個正五角星面組成。[6]每個頂點都是2個五邊形和2個五角星的公共頂點,在頂點圖中可以用 (5,5/2,5,5/2)表示[7],其代表著面在頂點周圍是以五邊形面、五角星面、五邊形面、五角星面的方式交錯排佈。

威佐夫佈局[编辑]

截半大十二面體有四種威佐夫布局,其代表著四種史瓦茲三角形,其對應的威佐夫記號分別為: 2 | 5 5/2[8]2 | 5 5/32 | 5/2 5/4[註 1]以及2 | 5/3 5/4。其雖然在威佐夫記號以不同方式表達,但實際上皆是代表相同的多面體。同理,截半大十二面體在施萊夫利符號中也可以用四種不同的方式表達,他們分別記為: t1{5/2,5}[11]、 t1{5/3,5}、 t1{5/2,5/4}以及t1{5/3,5/4}[12]。在考克斯特記號中,其同樣也存在四種形式,分別為:CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png以及CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png

展開圖[编辑]

截半大十二面體是一種星形多面體,同時,也能找到對應外觀相同的簡單多面體[註 2],其可以透過下列兩種形狀拼接而成:

Dodecadodecahedron net.png

其中需要12個五角星和20個三個菱形的組合[13]。由於這種結構使用了5個菱形來代替原有星形多面體的正五邊形面,因此組合出來的形狀部會包含原本就隱沒於截半大十二面體中的部分。[14]在這種結構下的截半大十二面體共由12個五角星面和60個菱形組成,且具有72個面、120條邊和90個頂點[15]

用途[编辑]

截半大十二面體可以用於輔助建構二元格雷碼英语Binary Golay code[6][16]

相關多面體[编辑]

截半大十二面體的凸包為截半二十面体。其與兩種立體共用相同的邊布局,分別為小十二面半二十面体英语small dodecahemicosahedron大十二面半二十面体英语Great dodecahemicosahedron,其中小十二面半二十面体與截半大十二面體有相同的五角星面,而大十二面半二十面体則是正五邊形面與截半大十二面體的正五邊形面相同。[17]

Dodecadodecahedron.png
截半大十二面體
Small dodecahemicosahedron.png
小十二面半二十面体英语small dodecahemicosahedron
Great dodecahemicosahedron.png
大十二面半二十面体英语Great dodecahemicosahedron
Icosidodecahedron.png
截半二十面体 (凸包)
小星形十二面體根據不同截角深度截去頂點的結果。

截半大十二面體可以由小星形十二面體透過截半變換構造而成:

Truncated small stellated dodecahedron before truncations.svg
小星形十二面體
Truncated small stellated dodecahedron.svg
較淺的截角小星形十二面體
Uniform truncated small stellated dodecahedron.svg
均勻截角小星形十二面體
Dodecadodecahedron.png
截半小星形十二面體

截半大十二面體也可以由大十二面體透過截半變換構造而成[6]。隨著截角深度不斷加深,最終會變成對偶多面體[18]。而對大十二面體或小星形十二面體而言,截半大十二面體為其截角序列的中間點。[19]

名稱 小星形十二面體 截角小星形十二面體 截半大十二面體 截角大十二面體 大十二面體
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
圖像 Small stellated dodecahedron.png Dodecahedron.png Dodecadodecahedron.png Great truncated dodecahedron.png Great dodecahedron.png

由於截半大十二面體的五角星形面可經由拓樸變形變為五邊形面,因此,這種形狀在拓樸中相當於四階五邊形鑲嵌的商空間。[6][20]下圖中的紅色與黃色的五邊形分別代表拓樸形變前的五角星和正五邊形。

Uniform tiling 552-t1.png

此外,截半大十二面體也是一種不存在良好具像化實例的抽象正多面體的部分具像化實例之一[21][22]。在考克斯特於1977年出版的著作《正多胞形英语Regular_Polytopes_(book)》中列出了五種不存在良好具像化實例的抽象正多面體。後來在1987年耶爾格·邁克爾·威利德语Jörg Michael Wills的論文又再次的確定了共存在五種有這種性質的抽象正多面體。[23]這種抽象多面體具有C2×S5對稱性,但只能具像化出一半的對稱性,即C2×A5或二十面體群對稱性。[24][25][26]

多面體 DU36 medial rhombic triacontahedron.png
內側菱形三十面體
Dodecadodecahedron.png
截半大十二面體
DU41 medial triambic icosahedron.png
內側三角六邊形二十面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
雙三斜十二面體
Excavated dodecahedron.png
凹五角錐十二面體
種類 {5,4}6的對偶 {5,4}6 {5,6}4的對偶 {5,6}4 {6,6}6
頂點圖 {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
30個菱形
Rhombus definition2.svg
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Medial triambic icosahedron face.png
12個五邊形
12個五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20個六邊形
Star hexagon face.png
鑲嵌 Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}
Uniform tiling 553-t1.png
{5, 6}
Uniform tiling 66-t2.png
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 5/4表示頂點5個頂點,每個頂點以相連相隔四個頂點的方式互相連接,換句話說即反連的五邊形,有些文獻會簡寫為5[9]。此例部分文獻中以2 | 5/2 5/4書寫。[10]
  2. ^ 多面體中,若有一個面與同一個多面體中的另一個面相交則稱為複雜多面體。其相對概念為簡單多面體,該多面體中沒引任何一個面與同一個多面體中另外一個面相交。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Hess, Edmund, Vier archimedeische Polyeder höherer Art, Cassel. Th. Kay, 1878, JFM 10.0346.03 
  2. ^ Badoureau, Mémoire sur les figures isoscèles, journal de l´École Polytechnique, 1881, 49: 47–172 
  3. ^ Pitsch, Über halbreguläre Sternpolyheder, Zeitschrift für das Realschulwesen, 1882, 7, JFM 14.0448.01 
  4. ^ Roman E. Maeder. 36: dodecadodecahedron. mathconsult.ch. 
  5. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 David A. Richter. The Dodecadodecahedron and the Golay Code. wmich.edu. 
  7. ^ Augmenting the dodecadodecahedron. orchidpalms.com. 
  8. ^ Zvi Har’El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #41. harel.org.il. 
  9. ^ Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
  10. ^ great dodecadodecahedron. bulatov.org. [2019-09-06]. 
  11. ^ Dodecadodecahedron. 國立清華大學. May 18, 2011. 
  12. ^ Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50
  13. ^ Geometric Model by Dick Holl, a Student of A.Harry Wheeler, Dodecadodecahedron. americanhistory.si.edu. 
  14. ^ Paper Dodecadodecahedron. polyhedra.net. 
  15. ^ Dodecadodecahedron. polyhedr.com. 
  16. ^ Kythe, D.K. and Kythe, P.K. Algebraic and Stochastic Coding Theory. CRC Press. 2017: pp.151-152. ISBN 9781351832458. 
  17. ^ U. Mikloweit. Did-Facetings. polyedergarten.de. 
  18. ^ N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  19. ^ Robert Webb. Dodecadodecahedron. software3d.com. 
  20. ^ Coxeter, H. S. M., Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space (PDF), The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8, LCCN 99035678 , invited lecture, ICM, Amsterdam, 1954.
  21. ^ The Regular Polyhedra (of index two), David A. Richter
  22. ^ The Golay Code on the Dodecadodecahedron, David A. Richter
  23. ^ Wills, Jörg Michael. The combinatorially regular polyhedra of index 2. aequationes mathematicae (Springer). 1987, 34 (2-3): 206––220. 
  24. ^ David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大學. (原始内容存档于2016-03-04). 
  25. ^ Regular Polyhedra of Index Two, I Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
  26. ^ Regular Polyhedra of Index Two, II  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27

外部連結[编辑]