截角四面體

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截角四面體
截角四面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
8
18
頂點 12
歐拉特徵數 F=8, E=18, V=12 (χ=2)
面的種類 正三角形
正六邊形
面的佈局英语Face configuration 4{3}+4{6}
頂點圖英语Vertex figure 3.6.6
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
施萊夫利符號 t{3,3}
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 3 | 3
康威表示法 tT
對稱群 Td
參考索引 U02, C16, W6
對偶 三角化四面體
特性 -
立體圖 Truncated tetrahedron vertfig.png
3.6.6
(頂點圖)
Triakistetrahedron.jpg
三角化四面體
(對偶多面體)
Truncated tetrahedron flat.svg
(展開圖)

幾何學中,截角四面體是一種半正八面體,13種阿基米德立體之一,共有8個面、18個邊和12個頂點,是三角化四面體對偶多面體,可由四面體經過適當的截角,截去四面體的四個頂點所產生的多面體。

若進行更深的截角,甚至截到了中點,則稱為截半四面體,然而此種多面體與正八面體是等價的[1]

由於截角四面體具有六邊形與三角形的面,因此也是一種戈德堡多面體,其戈德堡符號計為GIII(1,1)。

此外,由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成,即先交錯、再截角,因此,截角四面體又稱為斜截立方體截角交錯立方體,在考克斯特符號英语Coxeter diagram中計為CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png,頂點數為小斜方截半立方體CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png的一半,因此兩個截角四面體可以構成一個凸包小斜方截半立方體截角星形八面體,此種立體也稱為二複合截角四面體[2]

性質[编辑]

截角四面體半正多面體之一,由4個等邊三角形和4個正六邊形組成,有12個頂點和18條棱,可以想象為將正四面體的頂點切去。

座標[编辑]

直角坐標系中,將重心位於原點邊長為的四面體截角產生了12個頂點,以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) (其中每組坐標的±數目都是奇數個)為頂點,構成了一個截角四面體。12個頂點位置如下:

  • (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
  • (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
  • (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
  • (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)
Truncated tetrahedron in unit cube.png Triangulated truncated tetrahedron.png UC54-2 truncated tetrahedra.png
正交投影顯示截角四面體可置於一個(±3,±3,±3)的邊框內。 截角四面體的六邊形面可分割為6共面的正三角形。其產生了四個新頂點 :
(-1,-1,-1), (-1,+1,+1),
(+1,-1,+1), (+1,+1,-1).
頂點(±1,±1,±3)的全排列產生了兩個互補的截角四面體,可將之結合成一個複合多面體,即截角星形八面體

體積與表面積[编辑]

表面積,體積,其中是該截角四面體的邊長。[3]

交角[编辑]

三角形與六邊形的交角:,約為109.47122063449069136924599933996°
六邊形與六邊形的交角:,約為70.528779365509308630754000660038°
兩個六邊形的共線與三角形的交角:,約為125.26438968275465431537700033002°

作法[编辑]

將一個正四面體透過截角變換構造,即將正四面體的四个頂點切去就可以得到一個截角四面體

正交投影[编辑]

正交投影
中心 標準邊 標準面 面/頂點
圖像 Tetrahedron t01 ae.png Tetrahedron t01 af36.png 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg
對偶圖像 Dual tetrahedron t01 ae.png Dual tetrahedron t01 af36.png Dual tetrahedron t01.png Dual tetrahedron t01 A2.png
投影
對稱群
[1] [1] [3] [4]

球面鑲嵌[编辑]

Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron stereographic projection triangle.png
三角形為中心
Truncated tetrahedron stereographic projection hexagon.png
六邊形為中心
平行投影 施莱格尔投影英语Schlegel diagram

截角四面體圖[编辑]

截角四面體圖
Tuncated tetrahedral graph.png
3倍對稱
顶点 12[4]
18
半径 3
直径 3[4]
周长 3[4]
自同构群 24 (S4)[4]
色数 3[4]
Chromatic index 3[4]
属性 Hamiltonian, regular, 3-vertex-connected, planar graph

在圖論的數學領域中,與截角四面體相關的圖為截角四面體圖,其與截角四面體有相同的拓樸結構,是一種阿基米德圖英语Archimedean graph[5][6],其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的截角四面體相同,具有12個頂點和18個邊[7]。屬於連結立體圖(英语:connected cubic graph[8],也是一種連結立體可遞的圖[9]

正交投影
Truncated tetrahedral graph.circo.svg 3-simplex t01.svg
4倍對稱
3-simplex t01 A2.svg
3倍對稱

相關多面體及鑲嵌[编辑]

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

軌形對稱[编辑]

*n33軌形對稱的斜截鑲嵌英语Template:Cantic_table: 3.6.n.6
N33 fundamental domain t01.png 軌形英语Orbifold notation
*n32
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 雙曲鑲嵌 仿緊
*332 *333 *433 *533 *633... *∞33
斜截鑲嵌 Spherical cantic cube.png Uniform tiling 333-t12.png H2 tiling 334-6.png H2 tiling 335-6.png H2 tiling 336-6.png H2 tiling 33i-6.png
頂點英语Vertex configuration 3.6.2.6 3.6.3.6 3.6.4.6 3.6.5.6 3.6.6.6 3.6..6

變異對稱[编辑]

*n32變異對稱性的截角鑲嵌英语Template:Truncated figure1 table: 3.2n.2n
對稱性
*n32
[n,3]
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 非緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
截角鑲嵌 Spherical triangular prism.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Uniform tiling 432-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Uniform tiling 63-t01.png H2 tiling 237-3.png H2 tiling 238-3.png H2 tiling 23i-3.png
頂點英语Vertex configuration 3.4.4 3.6.6 3.8.8 3.10.10 3.12.12 3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling 3.16.16英语Truncated octagonal tiling 3.∞.∞英语Truncated order-3 apeirogonal tiling
三角化
鑲嵌
Spherical trigonal bipyramid.png Spherical triakis tetrahedron.png Spherical triakis octahedron.png Spherical triakis icosahedron.png Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg Ord7 triakis triang til.png Ord8 triakis triang til.png Ord-infin triakis triang til.png
頂點英语Vertex configuration V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14英语Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling V3.16.16英语Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling V3.∞.∞英语Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling

其他多面體[编辑]

三角化截角四面體[编辑]

三角化截角四面體

三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果,即將截角四面體的三角形面加入三角錐

另外一種則是在六邊形面加入六角錐

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy. Truncated Trickery: Truncatering. theory.org. 1997 [2013-09-02]. 
  2. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  3. ^ MathWorldTruncated tetrahedron 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 An Atlas of Graphs, page=172, C105
  5. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press, 1998 
  6. ^ MathWorldTruncated tetrahedral graph 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  7. ^ An Atlas of Graphs, page=267, truncated tetrahedral graph
  8. ^ An Atlas of Graphs, page=130, connected cubic graphs, 12 vertices, C105
  9. ^ An Atlas of Graphs, page=161, connected cubic transitive graphs, 12 vertices, Ct11

外部連結[编辑]