扭棱立方体

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扭稜立方體
扭棱立方体
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 半正多面體
38
60
頂點 24
歐拉特徵數 F=38, E=60, V=24 (χ=2)
面的種類 正三角形
正方形
面的佈局英语Face configuration (8+24){3}+6{4}
頂點圖 3.3.3.3.4
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDW hole.pngCDW 4.pngCDW hole.pngCDW 3.pngCDW hole.png
施萊夫利符號
威佐夫符號英语Wythoff symbol | 2 3 4
康威表示法 nCO
對稱群 O群
參考索引 U12, C24, W17
對偶 五角化二十四面體
特性 對掌性
立體圖 Snub cube vertfig.png
3.3.3.3.4
頂點圖
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
五角化二十四面體
(對偶多面體)
Snub cube flat.svg
(展開圖)
扭棱立方體的結構,紅色是扭稜前的正方形面、藍色三角形代表扭稜前立方體頂點、黃色代表扭稜所產生的新的面

幾何學中,扭棱立方體,又稱擬立方體英语:cubus simus[1][2])是一種由38個面組成的阿基米德立體[3],由6個正方形和32個正三角形組成,共有60條邊和24個頂點[4]

性質[编辑]

扭棱立方體是一個手性多面體英语Chirality (mathematics)[5],也就是說,該多面體鏡射之後會跟原本的型形狀不同,無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀[6][7][8]。扭棱立方體是一種阿基米德立體,其所有的面都是正多邊形,且每個頂點都是3個三角形和一個正方形,其頂點圖計為3.3.3.3.4或34.4[9],由於所有頂點相等,因此也稱為半正多面體

體積與表面積[编辑]

邊長為單位長的扭棱立方體表面積

體積為:

其中t表示三波那契常數英语tribonacci constant

由於扭棱立方體由6個正方形和32個正三角形組成,因此其表面積即6倍的正方形面積和32倍的正三角形面積

Snub hexahedron.png

二面角[编辑]

扭棱立方體有兩種不同角度二面角,分別是三角形-三角形二面角和三角形-正方形二面角。其中三角形-三角形二面角餘角的餘弦值是三次方程27x3+9x2-15x-13的零點、三角形-正方形二面角餘角的餘弦值是六次方程27x6-99x4-129x2-49的零點

三角形-三角形二面角以反正割表示為:

換算成角度約為153.23度或153度14分04秒。

三角形-正方形二面角為:

換算成角度約為142.98度或142度59分00秒。

其中R為邊長為單位長之扭棱立方體外接球半徑

正交投影[编辑]

扭棱立方體的正交投影
建立於 正三角形面 正方形面
圖像 Snub cube A2.png Snub cube B2.png Snub cube e1.png
投影對稱性 [3] [4]+ [2]
對偶圖像 Dual snub cube A2.png Dual snub cube B2.png Dual snub cube e1.png

球面鑲嵌[编辑]

Spherical snub cube.png Snub cube stereographic projection.png
正方形為中心
正投影圖英语Orthographic projection 球極平面投影

幾何關聯[编辑]

扭棱立方體可透過扭曲小斜方截半立方體的正方形面得到

扭棱立方體可透過將立方體的正方形面向外拉,使之不再相連,然後再將正方形面旋轉一個角度,再將空隙以三角形補滿而得

相關多面體及鑲嵌[编辑]

扭棱立方體是立方體經過扭棱變換後的結果,其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有:

對稱性英语List_of_spherical_symmetry_groups: [4,3], (*432)英语Octahedral symmetry [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)英语Tetrahedral symmetry
[3+,4]
(3*2)英语pyritohedral symmetry
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} c{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Truncated rhombic dodecahedron2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
對偶多面體
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V4.62/63 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Tetrakis cuboctahedron.png Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany. ASIN B0000DN8M2
  2. ^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
  3. ^ Geometry Technologies. "Snub Cube.". scienceu.com. 1999-07-28. 
  4. ^ MathWorldSnub cubic的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  5. ^ The Snub Cube. eusebeia. 2016-09-09 [2016-08-22]. (原始内容存档于2012-03-16). 
  6. ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 .
  7. ^ Archimedean Solids: Snub Cube (laevo). dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  8. ^ Archimedean Solids: Snub Cube (dextro). dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-24). 
  9. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Snub Cube. 3^4.4." §3.7.7 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989. ISBN 978-0906212202