拉回丛

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数学上,拉回丛(pullback bundle)或导出丛(induced bundle)是纤维丛理论中的常见构造。令 π : EB为以F为纤维的纤维丛,并令f : B′ → B为任意连续映射。则,f自然地诱导出一个纤维丛 π′ : f*EB′,它也以F为纤维。大致来讲,只需要说在点x的纤维是在点f(x)的纤维就可以了;然后用不交并将所有纤维合起来。

如果要更形式化一些,可以定义

f^{*}E = \{(x,e) \in B' \times E \mid f(x) = \pi(e)\}

投影映射π′ : f*EB′由下式给出

\pi'(x,e) = x.\,

到第二个因子的投影给出了一个映射\tilde f \colon f^{*}E \to E满足如下交换图:

PullbackBundle-01.png

若{Ui, φi)为一E局部平凡化,则(f−1Ui, ψi)是f*E的局部平凡化,其中

\psi_i(x,e) = (x, \mbox{proj}_2(\phi_i(e))).\,

然后,f*E就是B′上以F为纤维的纤维丛了。f*E称为拉回丛f诱导的丛。映射\tilde f是覆盖f的丛的一个态射。

若丛EB结构群 G,其变换函数为tij,则拉回丛f*E也有结构群Gf*E中的变换函数为

f^{*}t_{ij} = t_{ij} \circ f.

EB向量丛主丛则拉回丛f*E也是同类的丛。在主丛的情况,Gf*E上的作用

(x,e)\cdot g = (x,e\cdot g)

因此,映射\tilde f是右等变的,并定义了一个主丛间的态射。

范畴论的语言,拉回丛的构造是更一般的范畴拉回的一个例子。因此,它满足相应的泛性质

丛和层[编辑]

丛的拉回是很直接的,所以丛是本质上逆变的。与此形成对比的是,一个是本质上协变的:其直接的构造是层的直接像。虽然每个丛都有一个截面的层,其变化是相反的。这个分歧在很多领域是一个好处。但是必须注意层的直接像相对于丛而言没有一个闭属性。取层的直接像经常可能导致产生一个不是'丛的截面'类型的新层。

因此,丛的前推的概念虽然不是没有,而且实际上很重要,但这个概念产生的对象可能在一般情况下不是丛。

参考[编辑]