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拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换英语Laplace transform)是应用数学中常用的一种积分变换,又名拉氏轉換,其符號為 \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數tt ≥ 0)的函數轉換為一個引數為複數s的函數:

F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt.

拉氏變換在大部份的應用中都是對射的,最常見的f(t)和F(s)組合常印製成表,方便查閱。拉普拉斯变换得名自法國天文學家暨數學家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯Pierre-Simon marquis de Laplace),他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅里叶变换有關,不過傅里叶变换將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加,而拉氏變換則是將一個函數表示為許多的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統,可用來分析電子電路諧振子光学仪器及機械設備。在這些分析中,拉氏變換可以作時域頻域之間的轉換,在時域中輸入和輸出都是時間的函數,在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數,單位是弧度每秒。

對於一個簡單的系統,拉氏變換提供另一種系統的描述方程,可以簡化分析系統行為的時間[1]。像時域下的線性非時變系統,在頻域下會轉換為代數方程,在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。

正式定义[编辑]

对于所有实数t ≥ 0,函数f(t)的拉普拉斯变换是函数F(s),定义为:

F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt

参数s是一个复数

s = \sigma + i \omega, \,σ和ω为实数。

拉普拉斯变换的其他表示法中使用\displaystyle\mathcal{L}f\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}而非F\mathcal{L} 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dtF(s)\,f(t)\,的拉普拉斯变换结果。

拉普拉斯逆变换[编辑]

拉普拉斯逆变换有许多不同的名称,如维奇积分傅立叶-梅林积分梅林逆公式,是一个积分:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} \equiv \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,

其中γ是一个使F(s)的积分路径在收敛域内的实数。

拉普拉斯变换的存在性[编辑]

关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换,只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说,f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是间断性连续的,且当t\,趋于无穷大的时候,f(t)\,是指数阶地变化。

性质和定理[编辑]

函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s):

\begin{align}
  f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  F(s) \} \\
  g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  G(s) \} 
\end{align}

下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质:[2]

单边拉普拉斯变换的性质
时域 s域 注释
线性叠加  a f(t) + b g(t) \  a F(s) + b G(s) \ 可以用积分的基本规则证明。
s域一阶微分  t f(t) \  -F'(s) \ F′是F的一阶导数
s域一般微分  t^{n} f(t) \  (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ 更一般的形式是F(s)的n阶导数。
时域一阶微分  f'(t) \  s F(s) - f(0) \ f是一个可微函数,并且其导数为指数类型。这条性质可以通过分部积分得到。
时域二阶微分  f''(t) \  s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ f为二阶可微且二阶导数是指数型的。通过对f′(t)应用微分性质可得。
时域一般微分  f^{(n)}(t)  \  s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \ fn阶可微,其n阶导数是指数型的。通过数学归纳法证明。
s域积分  \frac{1}{t}f(t)  \  \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ 这是由s域微分和条件收敛推导出来的。
时域积分  \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)  {1 \over s} F(s) u(t)是阶跃函数,注意到 (uf)(t) 是u(t)和f(t)的卷积
时间标度 f(at)  \frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )  a > 0 \
s域平移  e^{at} f(t)  \  F(s - a) \
时域平移  f(t - a) u(t - a) \  e^{-as} F(s) \ u(t)表示阶跃函数
乘法 f(t)g(t)  \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \ 积分沿完全处在F收敛域内的竖直线Re(σ) = c[3]
卷积  (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau  F(s) \cdot G(s) \
复共轭  f^*(t)  F^*(s^*)
互相关  f(t)\star g(t)  F^*(-s^*)\cdot G(s)
周期函数 f(t) {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t)是一个周期T的周期函数,于是对所有t ≥ 0,有'f(t) = f(t + T)。这条性质是时域平移和几何级数的结果。
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.,要求{F(s)}为真分式,即分子的最高次小于分母的最高次,否则使用多项式除法{F(s)}分解
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)},要求sF(s)的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。
由于终值定理无需经过部分分式分解或其他困难的代数就能给出长期的行为,它就很有用。如果F(s)在右侧面或虚轴上有极点,(例如f(t) = e^tf(t) = sin(t))这个公式的行为就是未定义的。

与幂级数的关系[编辑]

拉普拉斯变换可以看成是幂级数的一个连续模拟。如果 a(n) 是正整数 n 的一个离散函数,那么与 a(n) 相关的幂级数为

\sum_{n=0}^{\infty} a(n) x^n

其中 x 是实变量(参见Z变换)。将对 n 的加和替换成对 t 的积分,则此幂级数的连续形式为

\int_{0}^{\infty} f(t) x^t \,dt

其中离散型函数 a(n) 被替换成连续型的 f(t)。(参见下文梅林变换。)改变幂的基底 xe

\int_{0}^{\infty} f(t) \left(e^{\log{x}}\right)^t \,dt

要使这个积分对任何有界函数 f 都收敛,就需要满足\log{x} < 0。使用s = log x代换就能得到拉普拉斯变换:

\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \,dt

换句话说,拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟,只是把离散参数 n 换成了连续变量 tx 换成了 es

与矩的关系[编辑]

函数 f

\mu_n = \int_0^\infty t^nf(t)\,dt

如果 f 的前 n 阶矩绝对收敛,则通过反复在积分符号内取微分,就得到(-1)^n(\mathcal L f)^{(n)}(0) = \mu_n。这在概率论里是有特别重要的意义的,其中随机变量 X 的矩是\mu_n=E[X^n]。下面的关系成立:

\mu_n = (-1)^n\frac{d^n}{ds^n}E\left[e^{-sX}\right].

证明函数导数的拉普拉斯变换[编辑]

很方便用拉普拉斯变换的微分性质来求函数导数的变换。从拉普拉斯变换的基本表达式就可以推导如下:

\begin{align}
  \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} &= \int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt \\
                                  &= \left[\frac{f(t)e^{-st}}{-s} \right]_{0^-}^{\infty} -
                                       \int_{0^-}^\infty \frac{e^{-st}}{-s} f'(t) \, dt\quad \text{(by parts)} \\
                                  &= \left[-\frac{f(0^-)}{-s}\right] + \frac{1}{s}\mathcal{L}\left\{f'(t)\right\},
\end{align}

导出

\mathcal{L}\left\{ f'(t) \right\} = s\cdot\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\}-f(0^-),

而在双边的情形下,

 \mathcal{L}\left\{ { f'(t) }  \right\} = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\,dt  = s \cdot \mathcal{L} \{ f(t) \}.

一般化的结果是

\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \cdot \mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-),

其中 f(n) 表示 fn阶导数,可以由归纳假设得出。

计算广义积分[编辑]

\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=F(s),则(参见上面的表格)

\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\int_{s}^{\infty}F(p)\, dp,

\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\, dt=\int_{s}^{\infty}F(p)\, dp.

s → 0,gives one the identity

\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}\, dt=\int_{0}^{\infty}F(p)\, dp.

provided that the interchange of limits can be justified. Even when the interchange cannot be justified the calculation can be suggestive. For example, proceeding formally one has

\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}\, dt =
       \int_{0}^{\infty}\left(\frac{p}{p^{2} + a^{2}}-\frac{p}{p^{2} + b^{2}}\right)\, dp =
       \frac{1}{2}\left.\ln\frac{p^{2} + a^{2}}{p^{2} + b^{2}} \right|_{0}^{\infty} = \ln b - \ln a.

这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分(Frullani integral)的一个例子。

例子还有狄利克雷积分

与其他变换的联系[编辑]

与傅里叶变换关系[编辑]

连续傅里叶变换相当于计算令 s = iω 或 s = 2πfi 的双边拉普拉斯变换:


\begin{align}
\hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em]
& = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s =  i\omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}\\[1em]
& = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\
\end{align}

与z变换的联系[编辑]

z 变换表达式为:

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

拉普拉斯变换简表[编辑]

下表提供了许多常用单变量函数的拉普拉斯变换。 [4] [5] 对于定义和解释,请参见表末的注释

由于拉普拉斯变换是一个线性算子:

  • 和的拉普拉斯变换等于各项的拉普拉斯变换的总和。
\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
  • 一个函数的倍数的拉普拉斯变换等于该函数的拉普拉斯变换的倍数。
\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}

使用这个线性性质 ,以及各种三角双曲、和复数 (等)的性质,可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换,这会比直接通过使用定义更快。

单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入,这就是下表中所有时域函数都乘以单位阶跃函数 u(t) 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是因果的 (即 τ > 0)。因果系统是 t = 0 之前的冲激响应 h(t) 都为零的一个系统。在一般情况下,因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。

函数 时域
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
拉普拉斯s域
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
收敛区域 参考
单位脉冲函数  \delta(t) \  1  所有 s 检验
延迟脉冲函数  \delta(t - \tau) \  e^{-\tau s} \ 单位脉冲函数
的时移
单位阶跃函数  u(t) \  { 1 \over s } Re(s) > 0 对单位冲激函数积分
延迟单位阶跃函数  u(t - \tau) \  \frac{1}{s} e^{-\tau s} Re(s) > 0 单位阶跃函数
的时移
斜坡函数  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} Re(s) > 0 两次积分
单位脉冲函数
n次幂
n 为整数)
 t^n \cdot u(t)  { n! \over s^{n + 1} } Re(s) > 0
(n > −1)
n次积分
单位阶跃函数
q次幂
q 为复数)
 t^q \cdot u(t)  { \Gamma(q + 1) \over s^{q + 1} } Re(s) > 0
Re(q) > −1
[6][7]
n次方根  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  { 1 \over s^{\frac{1}{n}+1} } \Gamma\left(\frac{1}{n} + 1\right) Re(s) > 0 由前一条性质中令 q = 1/n 得到。
频移的 n 次方 t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}} Re(s) > −α 对单位阶跃函数积分,
应用频移
延迟的频移的 n 次方 (t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} Re(s) > −α 对单位阶跃函数积分,
应用频移,
应用时移
指数衰减  e^{-\alpha t} \cdot u(t)    { 1 \over s+\alpha } Re(s) > −α 单位阶跃函数
的频移
双侧指数衰减
(仅对于双边变换)
 e^{-\alpha|t|}  \  { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } −α < Re(s) < α 单位阶跃函数
的频移
指数趋近 ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} Re(s) > 0 单位阶跃函数
减去指数衰减
正弦  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  } Re(s) > 0 Bracewell 1978,第227页
余弦  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  } Re(s) > 0 Bracewell 1978,第227页
双曲正弦  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } Re(s) > |α| Williams 1973,第88页
双曲余弦  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  } Re(s) > |α| Williams 1973,第88页
指数衰减
正弦波
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } Re(s) > −α Bracewell 1978,第227页
指数衰减
余弦波
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } Re(s) > −α Bracewell 1978,第227页
自然對數  \ln (t) \cdot u(t)  - { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right] Re(s) > 0 Williams 1973,第88页
n 阶第一类贝塞尔函数  J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^{n}}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}} Re(s) > 0
(n > −1)
Williams 1973,第89页
误差函数  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)  \frac{1}{s}e^{\frac{1}{4}s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac{s}{2}\right) Re(s) > 0 Williams 1973,第89页
注释:
  • t 为实数,通常表示时间
    尽管它可以表示任意独立空间。
  • s角频率,而 Re(s) 是它的实部
  • α, β, τ 和 ω 是实数
  • n整数

例子:如何应用此变换及其性质[编辑]

拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的;线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算,而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决,由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程,这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程,这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奧利弗·黑維塞第一次提出了一个类似的计划,虽然没有使用拉普拉斯变换;以及由此产生的演算被誉为黑維塞演算。

在工程学上的应用[编辑]

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示,对于分析系统特性系统稳定有着重大意义;在线性系统控制自动化上都有广泛的应用。

相關條目[编辑]

參考書目、資料來源[编辑]

  1. ^ Korn & Korn 1967,§8.1
  2. ^ Korn & Korn 1967,第226–227页
  3. ^ Bracewell 2000,Table 14.1, p. 385
  4. ^ K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering 3rd, Cambridge University Press, 455, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
  5. ^ J.J.Distefano, A.R. Stubberud, I.J. Williams, Feedback systems and control 2nd, Schaum's outlines, 78, 1995, ISBN 0-07-017052-5 
  6. ^ Lipschutz, S.; Spiegel, M. R.; Liu, J., Mathematical Handbook of Formulas and Tables, Schaum's Outline Series 3rd, McGraw-Hill, 183, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7  - provides the case for real q.
  7. ^ http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html - Wolfram Mathword provides case for complex q
  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳锡冠、胡曦、周祯晖老師,高立出版社。
  • Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0 .