拉格朗日恒等式

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在代数中,以约瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是:[1][2]

应用于任意两个实数复数集合(或者更一般地,一个交换环的元素){a1, a2, . . ., an} and {b1, b2, . . ., bn}。这个恒等式是婆罗摩笈多-斐波那契恒等式的推广,同时也是Binet–Cauchy恒等式的特殊形式。

用一个更为简洁的向量形式表示,Lagrange恒等式就是:[3]

其中ab是由实数构成的n维向量。向复数的引申需要将点积理解为内积或者Hermitian点积。准确的说,对于复数,Lagrange恒等式可以写成以下形式:[4]

用到复数的[5]

拉格朗日恒等式和外代数[编辑]

拉格朗日恒等式用楔积可以写成

因此,它可以看作是一个以点积形式给出两个向量楔积的公式,也就是由它们定义的平行四边形,即

参考资料[编辑]

  1. ^ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics 2nd. CRC Press. 2003. ISBN 1-58488-347-2. 
  2. ^ Robert E Greene and Steven G Krantz. Exercise 16. Function theory of one complex variable 3rd. American Mathematical Society. 2006: 22. ISBN 0-8218-3962-4. 
  3. ^ Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov, Volker Reitmann. Dimension theory for ordinary differential equations. Vieweg+Teubner Verlag. 2005: 26. ISBN 3-519-00437-2. 
  4. ^ J. Michael Steele. Exercise 4.4: Lagrange's identity for complex numbers. The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge University Press. 2004: 68–69. ISBN 0-521-54677-X. 
  5. ^ Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2002: 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9. ;
    Palka, Bruce P. An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1991: 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9.