拉開

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,拉開(法文:éclatement,英文:blowing up)、單項變換σ-過程是一種幾何的操作,代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇複流形 上一點 的拉開是將該點換為該點法叢射影叢,或者具體地說是換為該點切空間的射影空間,從而得到拉開態射 ,這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作,然而拉開也有外在的描述法,例如取一平面曲線,並對它所處的射影平面作某類變換;這是古典的進路,其想法至今仍反映於用語上。

對仿射空間中一點作拉開[编辑]

以下僅考慮複數 上的情形,一般構造準此可知。

為複仿射空間 的原點,仿射空間的元素以坐標表為 。令 -維複射影空間,其元素以齊次坐標表示為 。 令 中由等式 定義之閉子集,其中 。則投影態射

自然地導出態射(特別也是全純函數

此態射 (或者更常指空間 )稱為 拉開

例外除數 定義為 對態射 的逆像。可以證明

同構於射影空間。它是個非負除數,而且在 之外 是同構。因此 之同構。

對複流形的子流形作拉開[编辑]

一般來說,我們可以開任何餘維為 的複子流形 。設 由方程式 定義,並設 上的齊次坐標。沿 的拉開 定義為方程 (對所有 )在空間 中定義的閉子集。

進一步推廣,我們可拉開任何複流形 的任一複子流形 ,方式是局部上化約到上述情形,拉開後再予以黏合。效果依然,我們將 拉開為例外除子 。而拉開態射

依然是雙有理的,並在 外是同構。 可自然地視作 法叢的射影化,因此 局部上是纖維化映射,其纖維為

由於 是平滑除子,其法叢為線叢。對於曲面的情形,可證明 的自相交數為負,這表明其法叢沒有整體上定義的截面。 是其同調類在 上的唯一代表,原因在於:假設 經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形,則它和 的相交數必為正,故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

維某個 中不等於 的複子流形。若 不交 ,則它本質上不受沿 的拉開影響。然而若有相交,則 中導出兩個幾何對象:一者是真變換或稱嚴格變換,它是 中的閉包,其法叢一般與 的不同。另一者是全變換,包含 的全體或一部分,其同調類基本上是 上同調類之拉回。

推廣:概形的拉開[编辑]

拉開可以在一般的概形上定義。令 為一概形,並設 為其上一凝聚理想層, 沿 的拉開是概形 真態射

使得 可逆層,此拉開由下述泛性質刻劃:

對任何態射 ,若它使得 是可逆層,則 唯一地透過 分解。

此拉開可具體地由

構造。當 擬射影概形時, 將是射影態射

重要性質[编辑]

與有理映射的關係[编辑]

與奇點解消的關係[编辑]

曲面的拉開[编辑]

在平滑的射影曲面上,任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具:

定理 . 設 為平滑射影曲面, 上一個既約除數,若其相交矩陣 負定,則 可表成某個代數曲面的拉開,使得 為其例外除數。

相交理論[编辑]

相關的建構[编辑]

向法錐變形[编辑]

向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形 及其閉子概形 ,我們在 中拉開 ,則

是纖維化映射。沿著 的一般纖維自然同構於 ,而中心纖維則是兩個概形的并集:一者是 沿 的拉開;另一者則是 的法錐,其中我們將纖維緊化為射影空間。

辛流形的拉開[编辑]

拉開也可以在辛流形範疇中施行,稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構,然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義,我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式,因為我們不能任意將辛形式沿例外除數 延拓,而必須在 的一個鄰域上修改之;或藉著將 的一個開鄰域切下,然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論,其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

文獻[编辑]