拋物柱面坐標系

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拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的 。黃色拋物柱面的 。藍色薄面的 。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P (顯示為黑色的圓球),直角坐標大約為
拋物線坐標系的 的等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。拋物線坐標系可以往 z-軸延伸。對於任意 z-坐標,這曲線圖都正確無誤。

拋物柱面坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ,則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如,物體邊緣的位勢論

基本定義[编辑]

直角坐標 可以用拋物柱面坐標 表示為

其中,

坐標 為常數的曲線形成共焦的,凹性往 +y-軸的拋物柱面

而坐標 為常數的曲線形成共焦的,凹性往 -y-軸的拋物柱面

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距 的公式為

當解析經典力學反平方連心力問題時,假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式,則會用到這很有用的公式。參閱拉普拉斯-龍格-冷次向量

標度因子[编辑]

拋物柱面坐標 的標度因子相等;而 的標度因子是 1 :

無窮小體積元素是

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

拋物柱面坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,拋物柱面坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是,有一塊半無限的平板導體,請問其周圍的電場為什麼?應用拋物柱面坐標,我們可以精緻地分析這例題。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 658. ISBN 0-07-043316-X. 
  • Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 186–187. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 181. ASIN B0000CKZX7. 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96. 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk
  • Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302. 

外部連結[编辑]

  • 數學世界的拋物柱面坐標系頁面