拋物柱面坐標系

拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的 $\sigma =2$$\sigma =2$ 。黃色拋物柱面的 $\tau =1$$\tau =1$ 。藍色薄面的 $z=2$$z=2$ 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P （顯示為黑色的圓球），直角坐標大約為 $(2,\ -1.5,\ 2)$$(2,\ -1.5,\ 2)$ 。

拋物線坐標系的 $\sigma$$\sigma$ 和 $\tau$$\tau$ 的等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。拋物線坐標系可以往 z-軸延伸。對於任意 z-坐標，這曲線圖都正確無誤。

拋物柱面坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ，則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如，物體邊緣的位勢論。

基本定義

直角坐標 $(x,\ y,\ z)$$(x,\ y,\ z)$ 可以用拋物柱面坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$$(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 表示為

$x=\sigma \tau$$x=\sigma \tau$ 、

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2}}-\sigma ^{{2}}\right)$ 、

$z=z$$z=z$ ；

其中，$\sigma \geq 0$$\sigma \geq 0$ ，$\tau \geq 0$$\tau \geq 0$ 。

坐標 $\sigma$$\sigma$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性往 +y-軸的拋物柱面：

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$$2y={\frac {x^{{2}}}{\sigma ^{{2}}}}-\sigma ^{{2}}$ ，

而坐標 $\tau$$\tau$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性往 -y-軸的拋物柱面：

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$$2y=-{\frac {x^{{2}}}{\tau ^{{2}}}}+\tau ^{{2}}$ 。

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距 $r$$r$ 的公式為

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$。

當解析經典力學的反平方連心力問題時，假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式，則會用到這很有用的公式。參閱拉普拉斯-龍格-冷次向量。

標度因子

拋物柱面坐標 $\sigma$$\sigma$ 與 $\tau$$\tau$ 的標度因子相等；而 $z$$z$ 的標度因子是 1 ：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$$h_{{\sigma }}=h_{{\tau }}={\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}$ 、

$h_{z}=1$$h_{z}=1$ 。

無窮小體積元素是

$dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$$dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$$\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ 、$\nabla \times \mathbf {F}$$\nabla \times {\mathbf {F}}$ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$$(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

拋物柱面坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，拋物柱面坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一塊半無限的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？應用拋物柱面坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參考文獻

• Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 658. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 186–187.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 181. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k。

• Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結

• 數學世界的拋物柱面坐標系頁面