拓扑空间

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間,因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3};右下角的集合也不是個拓撲空間,因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑空间是一种数学结构,可以在上頭形式化地定義出如收敛连通连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学

定义[编辑]

拓撲空間是一個集合 X 和其上定义的拓扑结构\tau组成的二元组(X,\tau)X 的元素 x 通常称为拓扑空间 (X,\tau)的点。而拓扑结构\tau一词涵盖了开集闭集邻域开核闭包导集滤子等若干概念。从这些概念出发,可以给拓扑空间(X,\tau)作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。 

开集公理[编辑]

X 的子集族\mathfrak{O}称为开集系(其中的元素称为开集),当且仅当其滿足如下开集公理

  • O1\varnothing\in\mathfrak{O}X\in\mathfrak{O}
  • O2:若A_{\lambda}\in\mathfrak{O}\lambda\in\Lambda),则\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\in\mathfrak{O}(对任意并运算封闭)。
  • O3:若A, B\in\mathfrak{O},则A\cap B\in\mathfrak{O}。(对有限交运算封闭)。

从开集出发定义其它各概念:

  • 开集定义闭集X的子集A是闭集,当且仅当X - A是开集。
  • 开集定义邻域X的子集U是点x的邻域,当且仅当存在开集O,使x \in O \subseteq U
  • 开集定义开核X的子集A的开核A^{\circ}等于A包含的所有开集之并。

闭集公理[编辑]

X子集族\mathfrak{F}称为闭集系(其中的元素称为闭集),当且仅当其滿足如下闭集公理

  • C1\varnothing\in\mathfrak{F}X\in\mathfrak{F}
  • C2:若A_{\lambda}\in\mathfrak{F}\lambda\in\Lambda),则\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\in\mathfrak{F}(对任意交运算封闭)。
  • C3:若A, B\in\mathfrak{F},则A\cup B\in\mathfrak{F}。(对有限并运算封闭)。

(显然,闭集是开集的对偶概念)。

从闭集出发定义其它各概念:

  • 闭集定义开集X的子集A是开集,当且仅当X - A是闭集。
  • 闭集定义闭包X的子集A的闭包\overline{A}等于包含A的所有闭集之交。

邻域公理[编辑]

X的映射\mathfrak{U}:X \to P(P(X))P(P(X))X的幂集的幂集)。这样\mathfrak{U}X的每个点x映射至X的子集族\mathfrak{U}(x)\mathfrak{U}(x)称为x邻域系\mathfrak{U}(x)的元素称为x邻域),当且仅当对任意的x \in X\mathfrak{U}(x)满足如下邻域公理

  • U1:若U\in\mathfrak{U}(x),则x\in U
  • U2:若U, V\in\mathfrak{U}(x),则U \cap V \in \mathfrak{U}(x)。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
  • U3:若U\in\mathfrak{U}(x)U\subseteq V\subseteq X,则V\in\mathfrak{U}(x)
  • U4:若U\in\mathfrak{U}(x),则存在V\in\mathfrak{U}(x),使对所有y\in V,有U\in\mathfrak{U}(y)

从邻域出发定义其它概念:

  • 邻域定义开集X的子集O是开集,当且仅当对任意x\in O,有O \in \mathfrak{U}(x)。(O是其中每个点的邻域)。
  • 邻域定义开核X的子集A的开核A^{\circ} = \{x | \exists U \in \mathfrak{U}(x), U \subseteq A \}
  • 邻域定义闭包X的子集A的闭包\overline{A} = \{x|\forall U\in \mathfrak{U}(x), U\cap A\ne\varnothing\}

闭包公理[编辑]

X的幂集P(X)上的一元运算c : P(X) \to P(X)(即将X的子集A映射为X的子集c(A))称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算c满足下述的闭包公理

  • A1 A \subseteq c(A)
  • A2 c(c(A)) = c(A)
  • A3 c(A \cup B) = c(A) \cup c(B)
  • A4 c(\varnothing) = \varnothing

集合A的闭包通常记为\overline{A}

从闭包出发定义其它概念:

  • 闭包定义闭集X的子集A是闭集,当且仅当A = \overline{A}
  • 闭包定义开核X的子集A的开核A^{\circ} = X - \overline{X-A}
  • 闭包定义邻域X的子集U是点x的邻域,当且仅当x \notin X - \overline{U}

开核公理[编辑]

X的幂集P(X)上的一元运算o: P(X) \to P(X)(即将X的子集A映射为X的子集o(A))称为开核运算(像称为原像的开核内部)。当且仅当运算o满足如下开核公理

  • I1 o(A) \subseteq  A
  • I2 o(o(A)) = o(A)
  • I3 o(A \cap B) = o(A) \cap o(B)
  • I4 o(X) = X

集合A的开核通常记为A^{\circ}。 (显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。

从开核出发定义其它概念:

  • 开核定义开集X的子集A是开集,当且仅当A = A^{\circ}
  • 开核定义邻域X的子集U是点x的邻域,当且仅当x\in U^{\circ}
  • 开核定义闭包X的子集A的闭包\overline{A} = X - (X-A)^{\circ}

导集公理[编辑]

X的幂集P(X)上的一元运算d: P(X) \to P(X)(即将X的子集A映射为X的子集d(A))称为'导集运算(像称为原像的导集),当且仅当d满足以下导集公理

  • D1d(\varnothing) = \varnothing
  • D2d(A) = d(d(A))
  • D3\forall x \in X, d(A) = d(A - \{x\})
  • D4d(A\cap B) = d(A)\cap d(B)

从导集出发定义其它概念:

  • 导集定义闭集X的子集A是闭集,当且仅当d(A)\subseteq A

拓扑之间的关系[编辑]

同一个空间可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑\mathfrak{T}_1的每一个开集都是拓扑\mathfrak{T}_2的开集时,称拓扑\mathfrak{T}_2比拓扑\mathfrak{T}_1,或称拓扑\mathfrak{T}_1比拓扑\mathfrak{T}_2

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚[编辑]

类似定义拓扑空间,连续映射也有基于开集,闭集,开核,闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射f称为连续映射,当且仅当它满足以下条件之一:

  • f对任何开集的原像是开集。(这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。)
  • f对任何闭集的原像是闭集。
  • 对点f(x)的任一邻域V,都存在点x的一个邻域U,使得f(U) \subset V,则称f(x)在点x连续,而连续映射即点点连续的映射。
  • 对任一集合Af(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}成立。
  • 对任一集合Af^{-1}(A^{\circ}) \subseteq (f^{-1}(A))^{\circ}成立。

同胚映射是一个连续的双射,并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射,则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲,同胚的空间是等同的。

拓扑空间范畴[编辑]

拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论同调论K-理论

相关概念[编辑]

基本概念[编辑]

给定拓扑空间(X,τ),A是X的子集,有以下概念(继续使用上面的符号):

内部,内点
A的开核o(A)又称为A的内部,其元素称为A的内点
外部,外点
X - c(A)称为A的外部,其元素称为A的外点
边界,边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的边界,其元素称为A的边界点
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的触点
稠密性,疏集
称A在X中是稠密的(或称稠密集),当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的边缘集,当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性,疏集
称A在X中是疏的(或称疏集),当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集,第二范畴集
称A是X中的第一范畴集,当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集,当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点,导集
X中的点x称为A的聚点,当且仅当x ∈ c(A - {x})(或者等价地,x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点)。A的所有聚点组成的集合称为A的导集
孤立点
A中的点x称为A的孤立点,当且仅当它不是A的聚点。
孤点集,离散集
称A为孤点集离散集,当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为自密集,当且仅当A中的点都是A的聚点(等价地,A中没有A的孤立点)。
完备集
称A为完备集,当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的自密核
无核集
称A是无核集,当且仅当A的自密核是∅(或等价地,A的任意非空子集都含有孤立点)。

[编辑]

的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集\mathbb{N}

空间X上的一个网(x_\alpha)_{\alpha \in A}是从有向集合A映至X的映射。

若存在x \in X,使得对每个x的邻域U都存在\beta \in A,使得\alpha \geq \beta \Rightarrow x_\alpha \in U,则称网(x_\alpha)_{\alpha \in A}收敛至x

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目

拓扑空间的例子[编辑]

  • 实数R构成一个拓扑空间:全体开区间构成其上的一组拓扑基,其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并(开区间的数量可以是无穷多个。从许多方面来说,实数集都是最基本的拓扑空间,并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解;但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间,它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
  • 更一般的,n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间,其上的开集就由开球来生成。
  • 任何度量空间都可构成一个拓扑空间,如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间,如泛函分析领域中的Banach空间希尔伯特空间
  • 任何局部域都自然地拥有一个拓扑,并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间
  • 除了由全体开区间生成的拓扑之外,实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑(lower limit topology)。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑;在这种拓扑空间中,一个点列收敛于一点,当且仅当,该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
  • 流形都是一个拓扑空间。
  • 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中,相应的单形分别是线段三角形四面体
  • 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型,参见多胞形(Polytope)。
  • 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑,这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说,相应扎里斯基拓扑定义的闭集,就是由全体多项式方程的解集合构成。
  • 线性图是一种能推广的许多几何性质的拓扑空间。
  • 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑,在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
  • 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中,只有常数列或者网是收敛的。
  • 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中,任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们,一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
  • 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
  • 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间
  • 如果Γ是一个序数,则集合[0, Γ]是一个拓扑空间,该拓扑可以由区间(a, b]生成,此处ab是Γ的元素。

例子[编辑]

  1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {, X} 會形成一個平庸拓扑。
  2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
  3. X = (整數集合)及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上  自身不是一個拓撲,因為(例如)所有不包含零的有限集合的聯集是無限的,但不是  的全部,因此不在 τ 內。
  4. 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
  5. 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
  6. 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
  7. 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
  8. n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中,不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 {a,b,c} (1) {{a},{b},{c}}, (2) {{a},{b,c}},{{b},{c,a}},{{c},{a,b}} (3) {{a},{b},{b,c}},{{a},{c},{b,c}},{{b},{c},{a,c}},{{b},{a},{a,c}},{{c},{b},{a,b}},{{c},{a},{a,b}} (4) {{a},{a,b},{c,a}},{{b},{b,c},{a,b}},{{c},{c,a},{b,c}} (5) {{a},{a,b},{a,b,c}},{{a},{a,c},{a,b,c}},{{b},{b,c},{a,b,c}}, {{b},{a,b},{a,b,c}},{{c},{b,c},{a,b,c}},{{c},{a,c},{a,b,c}} (6) {{a},{a,b,c}},{{b},{a,b,c}},{{c},{a,b,c}} (7) {a,{b},{c}},{{a}.b.{c}}.{{a}.{b},c} (8) {{a,b},{a,b,c}},{{b,c},{a,b,c}},{{c,a},{a,b,c}} (9) {{a,b,c},}


3点集的总拓扑29个具体如下:(每一拓扑中都要再加上一个空子集)

1 {a,b,c} 2,{{a,b,c},{a}} 3,{{a,b,c},{b}} 4,{{a,b,c},{c}}

5,{{a,b,c},{a,b}} 6,{{a,b,c},{a,c}} 7,{{a,b,c},{b,c}}

8,{{a,b,c},{a,b},{a}} 9,{{a,b,c},{a,b},{b}} 10,{{a,b,c},{a,b},{c}} 11,{{a,b,c},{a,b},{a},{b}}

12,{{a,b,c},{a,c},{a}} 13,{{a,b,c},{a,c},{b}} 14,{{a,b,c},{a,c},{c}} 15,{{a,b,c},{a,c},{a},{c}}

16,{{a,b,c},{b,c},{a}} 17,{{a,b,c},{b,c},{b}} 18,{{a,b,c},{b,c},{c}} 19,{{a,b,c},{b,c},{b},{c}}

20,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a}} 21,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{b}} 22,{{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{c}}

23,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b}} 24,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b},{a}} 25,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{b},{c}}

26,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c}} 27,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c},{b}} 28,{{a,b,c},{b,c},{a,c},{c},{a}}

29,{{a,b,c},{a,b},{b,c},{a,c},{a},{b},{c}}

拓扑空间的构造[编辑]

  • 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑,子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
  • 对任何非空的拓扑空间族,我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑,这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说,积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
  • 商拓扑可以被如下地定义出来:若X是一个拓扑空间,Y是一个集合,如果f : X  →  Y是一个满射,那么Y获得一个拓扑;该拓扑的开集可如此定义,一个集合是开的,当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类,从而给出拓扑空间X上的一个等价关系
  • Vietoris拓扑

拓扑空间的分类[编辑]

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

分离公理[编辑]

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史

拓扑不可区分性
X中两个点x,y称为拓扑不可区分的,当且仅当如下结论之一成立:
  • 对X中每个开集U,或者U同时包含x,y两者,或者同时不包含它们。
  • x的邻域系和y的邻域系相同。
  • x\in\overline{\{y\}},且y\in\overline{\{x\}}

可数公理[编辑]

可分的
X称为可分,当且仅当它拥有一个可数稠密子集。
第一可数
X称为第一可数,当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为第二可数,当且仅当其拥有一个可数的基。

连通性[编辑]

连通
X称为连通,当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。(或等价地,该空间的闭开集(既开又闭的集合)只有空集和全空间两者)。
局部连通
X称为局部连通,当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基,这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为完全不连通,当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为道路连通,当且仅当其任意两点xy,存在从xy的道路p,也即,存在一个连续映射p: [0,1] → X,满足p(0)= xp(1)= y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为局部道路连通,当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基,这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的,当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为单连通,当且仅当它是道路连通且每个连续映射f: \mathbb{S}^1 \rightarrow X都与常数映射同伦
可缩
X称为可缩,当且仅当它同伦等价到一点。
超连通
X称为超连通的,当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为极连通的,当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为平庸的,当且仅当其开集只有本身与空集。

紧性[编辑]

(详细资料请参照紧集

紧性
X称为紧的,当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有林德洛夫性质,当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为仿紧的,当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为可数紧的,当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为可数紧的,当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为伪紧的,当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量化[编辑]

可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间[编辑]

对於任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射m: G \times G \rightarrow G(群乘法)及i: G \rightarrow G(反元素),使之具备群结构。

同样地,可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。

拥有序结构的拓扑空间[编辑]

拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:


历史[编辑]

参见拓扑学

外部链接[编辑]

n个元素的集上总拓扑数规律

参考书目[编辑]

  • John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
  • James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.