# 拓扑空间

## 定义动机

${\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)

${\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]}$

(1) 任二開集的交集也是開集

${\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1}}$
${\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2}}$

${\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}}$

(2) 任意個開集的并集也會是開集

${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ 是一群開集所構成的集合，也就是說

${\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}}$

${\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}}$

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]}$

${\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]}$

## 正式定义

### 开集系

${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ 若滿足以下开集公理

${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {O}}}$ ${\displaystyle X}$ 本身和空集合也是開的
${\displaystyle \forall O_{1}\forall O_{2}[\,(O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}})\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}})\,]}$ 有限個開集的交集也是開的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {A}}\left[\,({\mathfrak {A}}\subseteq {\mathfrak {O}})\Rightarrow \left(\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathfrak {O}}\right)\,\right]}$ 任意個開集的併集也是開的

• 闭集：若 ${\displaystyle X-A}$ 是开集，則稱 ${\displaystyle A}$ 是闭集。
• 邻域：若存在开集 ${\displaystyle O}$ 使得 ${\displaystyle x\in O\subseteq A}$ ，則稱 ${\displaystyle A}$ 是点 ${\displaystyle x}$ 的邻域。
• 开核${\displaystyle A}$開核（或內部${\displaystyle A^{\circ }}$ 定義為${\displaystyle A}$ 內所有开集之并，也就是
${\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}}$

### 闭集系

${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 若滿足如下闭集公理

${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {F}}}$ ${\displaystyle X}$ 本身和空集合也是閉的
${\displaystyle \forall F_{1}\forall F_{2}[\,(F_{1},\,F_{2}\in {\mathfrak {F}})\Rightarrow (F_{1}\cup F_{2}\in {\mathfrak {F}})\,]}$ 有限個閉集的併集是閉的
${\displaystyle \forall {\mathfrak {B}}\left[\,({\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {F}})\Rightarrow \left(\bigcap {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {F}}\right)\,\right]}$ 任意個閉集的交集是閉的

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,F-O\in {\mathfrak {O}}\right\}}$

• 开集${\displaystyle X-A}$ 是闭集，則稱 ${\displaystyle A}$ 是开集。
• 闭包${\displaystyle A}$ 的闭包${\displaystyle {\overline {A}}}$ 定義為包含A的所有闭集之交，也就是
${\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}}$

### 邻域系

${\displaystyle \forall U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (x\in U)\,\}}$ ${\displaystyle x}$ 屬於 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 的任意元素（${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 裡的元素都是 ${\displaystyle x}$ 的邻域）
${\displaystyle \forall U\forall V\{\,[\,U,\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow [\,U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$ ${\displaystyle x}$ 的任二邻域的交集也是 ${\displaystyle x}$ 的邻域
${\displaystyle (\forall V\subseteq X)[\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(U\subseteq V)\Rightarrow [\,V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}}$ 包含任何 ${\displaystyle x}$ 的邻域的任意子集也是 ${\displaystyle x}$ 的邻域
${\displaystyle [\,\forall U\in {\mathfrak {U}}(x)\,][\,\exists V\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\{\,(V\subseteq U)\wedge (\forall y\in V)[\,U\in {\mathfrak {U}}(y)\,]\,\}}$ ${\displaystyle x}$ 的每個邻域內有個 ${\displaystyle x}$ 的邻域，使的大邻域都是小邻域裡面點的領域

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}}$

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]}$

${\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]}$

${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$ 也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 ${\displaystyle V=U^{\circ }}$ ），所以對所有 ${\displaystyle x\in X}$ 定義了邻域系等同於定義了一個拓扑

• 开集：对任意 ${\displaystyle x\in A}$ ，有 ${\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)}$，則稱 ${\displaystyle A}$ 是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
• 开核${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}}$（開核裡的每一點，都有一個包含於 ${\displaystyle A}$ 的領域。）
• 闭包${\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}}$。（閉包裡每一點的領域，都跟 ${\displaystyle A}$ 有交集。）

### 闭包公理

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$上的一元运算${\displaystyle c:P(X)\to P(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集A映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle c(A)}$）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算${\displaystyle c}$满足下述的闭包公理

• A1${\displaystyle A\subseteq c(A)}$
• A2${\displaystyle c(c(A))=c(A)}$
• A3${\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)}$
• A4${\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing }$

• 闭包定义闭集${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是闭集，当且仅当${\displaystyle A={\overline {A}}}$
• 闭包定义开核${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的开核${\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}}$
• 闭包定义邻域${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$是点${\displaystyle x}$的邻域，当且仅当${\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}}$

### 开核公理

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$上的一元运算${\displaystyle o:P(X)\to P(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集A映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle o(A)}$）称为开核运算（像称为原像的开核内部）。当且仅当运算${\displaystyle o}$满足如下开核公理

• I1${\displaystyle o(A)\subseteq A}$
• I2${\displaystyle o(o(A))=o(A)}$
• I3${\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)}$
• I4${\displaystyle o(X)=X}$

• 开核定义开集${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是开集，当且仅当${\displaystyle A=A^{\circ }}$
• 开核定义邻域${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$是点${\displaystyle x}$的邻域，当且仅当${\displaystyle x\in U^{\circ }}$
• 开核定义闭包${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的闭包${\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }}$

### 导集公理

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的一元运算${\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle d(A)}$）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当${\displaystyle d}$满足以下导集公理

• D1${\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing }$
• D2${\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}$
• D3${\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}$
• D4${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}$

• 导集定义闭集${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是闭集，当且仅当${\displaystyle d(A)\subseteq A}$

## 连续映射与同胚

${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}}_{X})}$${\displaystyle (Y,\,{\mathfrak {O}}_{Y})}$ 都是拓扑空间，如果函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 滿足：

${\displaystyle (\forall B\in {\mathfrak {O}}_{Y})[f^{-1}(B)\in {\mathfrak {O}}_{X}]}$

${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}}$-${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}}$ 连续

### 性質

• ${\displaystyle f}$对任何闭集的原像是闭集。
• 对点${\displaystyle f(x)}$的任一邻域${\displaystyle V}$，都存在点${\displaystyle x}$的一个邻域${\displaystyle U}$，使得${\displaystyle f(U)\subset V}$，则称${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x}$连续，而连续映射即点点连续的映射。
• 对任一集合${\displaystyle A}$${\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}}$成立。
• 对任一集合${\displaystyle A}$${\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }}$成立。

## 相关概念

### 基本概念

A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点

X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点

c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点

A的闭包c(A)中的点称为A的触点

X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集

A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。

A的最大自密子集称为A的自密核

## 拓扑空间的例子

• 实数R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
• 更一般的，n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
• 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间希尔伯特空间
• 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间
• 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
• 流形都是一个拓扑空间。
• 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是线段三角形四面体
• 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
• 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。
• 线性图是一种能推广的许多几何性质的拓扑空间。
• 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
• 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
• 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
• 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
• 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间
• 如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处ab是Γ的元素。

### 例子

1. X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {, X} 會形成一個平庸拓扑。
2. X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
3. X = （整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上  自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是  的全部，因此不在 τ 內。
4. 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
5. 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
6. 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
7. 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
8. n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

1. {∅, X}
2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

## 拓扑空间的构造

• 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
• 对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
• 商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X  →  Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系
• Vietoris拓扑

## 拓扑空间的分类

### 分离公理

X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：
• 对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
• x的邻域系和y的邻域系相同。
• ${\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}}$，且${\displaystyle y\in {\overline {\{x\}}}}$

### 可数公理

X称为可分，当且仅当它拥有一个可数稠密子集。

X称为第一可数，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。

X称为第二可数，当且仅当其拥有一个可数的基。

### 连通性

X称为连通，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。

X称为局部连通，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

X称为完全不连通，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。

X称为道路连通，当且仅当其任意两点xy，存在从xy的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= xp（1）= y。道路连通的空间总是连通的。

X称为局部道路连通，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。

X称为单连通，当且仅当它是道路连通且每个连续映射${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}$都与常数映射同伦

X称为可缩，当且仅当它同伦等价到一点。

X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。

X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。

X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

### 紧性

（详细资料请参照紧集

X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。

X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。

X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。

X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。

X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。

X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

## 拥有序结构的拓扑空间

• 谱空间（spectral space）上的序结构。
• 特殊化预序：定义${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)}$。常见於计算机科学

n个元素的集上总拓扑数规律

## 参考书目

• John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
• James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.