拓撲向量空間

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加法運算在 0 處是連續的當且僅當對於任何 0 的鄰域 U 存在另一個 0 的鄰域 V 使得V + V 被包含在 U 中。

拓撲向量空間泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構向量空間

拓撲向量空間主要都是函數空間,在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。

希爾伯特空間巴拿赫空間是典型的例子。

定義[编辑]

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如果乘法運算在 0 處是連續的,則對於 0 的任何鄰域 U 和任何標量 λ 存在另一個 0 的鄰域 V 使得 λV 被包含在 U 中。這個必要條件也會變為充分條件,如果增加了額外假設;參見Trèves (1967, Chapter 3)。
帶有上述兩個性質的原點的鄰域族唯一確定一個拓撲向量空間。在這個向量空間內的任何其他點的鄰域系統是通過平移獲得的。

一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K (通常取實數或複數域)上的向量空間,其上帶有拓撲結構使得向量加法 X × XX 與純量乘法 K × XX 為連續映射。

:某些作者也要求 X豪斯多夫空間,更有要求其為局部凸空間者(例如 Fréchet 空間)。一個拓撲向量空間是豪斯多夫空間的充分條件是該空間為 空間。

佈於 K 上的拓撲向量空間範疇通常記為 TVSKTVectK,其對象為佈於 K 上的拓撲向量空間,態射則為連續的 K-線性映射。拓撲向量空間的同構是既是同胚也是線性的映射。

例子[编辑]

所有賦範向量空間都是拓撲向量空間的例子。因此所有巴拿赫空間希爾伯特空間也是這些例子。

函數空間[编辑]

數學分析中應用的拓撲向量空間主要是函數空間。較常見的例子有:

  • :拓撲空間 上的連續函數空間,其拓撲由一族半範數 定義,其中 遍取 中的緊子集。
  • :拓撲空間 上的緊支撐集連續函數空間,拓撲由範數 定義。
  • Lp空間:測度空間 上滿足 的函數空間,拓撲由範數 定義,其中
  • 索伯列夫空間偏微分方程理論中常用的空間,詳見主條目索伯列夫空間
  • 分佈:一種廣義函數理論,用以定義並研究偏微分方程的廣義解。全體分佈構成一個拓撲向量空間。
  • 施瓦兹空間:又稱快速遞減函數空間,定義為 ,其中 多重指標,其中的半範數由 給出。此空間的重要性主要在於傅立葉變換理論。

積向量空間[编辑]

當賦予乘積空間後,拓撲向量空間的家族的笛卡兒乘積都是拓撲向量空間.例如,Xf : RR函數的集合. X可以被乘積空間RR來確定的,並帶有自然的乘積空間.有了這個拓撲,X成了拓撲向量空間,稱呼為逐點收斂的空間.命名的原因是如果(fn) 是X集合內元素的序列而對於所有實數x fn(x)都有一個極限 f(x) ,那麼fnX集合內有一個極限f.這個空間就是完整但不能賦範.

拓撲結構[编辑]

向量空間對加法構成阿貝爾群,拓撲向量空間的加法逆運算 是連續的(因為 ),因此拓撲向量空間可視為可交換的拓撲群

特別是:拓撲向量空間是一致空間,因此可以談論完備性一致收斂一致連續。向量運算(加法與純量積)是一致連續的,因此拓撲向量空間的完備化仍為拓撲向量空間,原空間在其中是個稠密的線性子空間。

向量運算不只連續,實則還是同胚,因此我們可以從原點附近的一組局部重構整個空間的拓撲。局部基可由以下兩種開集組成:

  • 吸收集;事實上,原點的任何鄰域都是吸收集。
  • 平衡集

一個拓撲向量空間可度量化的充要條件是:(一)它是豪斯多夫空間(二)原點有一組可數的局部

拓撲向量空間之間的線性函數若在某一點連續,則在整個定義域上連續。一個線性泛函連續的充要條件是其核為閉子空間。

有限維向量空間有唯一的豪斯多夫拓撲,因此任何有限維拓撲向量空間都同構於 (帶上確界範數:)。對於豪斯多夫拓撲向量空間,有限維等價於局部緊。

拓撲向量空間的種類[编辑]

在應用中,我們常考慮具有一些附帶拓撲性質的空間,以下是一些常見的種類,大致以其性質之「良好」與否排序。

  • 局部凸拓撲向量空間:每一點都有一組由凸集構成的局部。一個空間是局部緊若且唯若其拓撲可由一組半範數定義。局部緊性對某些「幾何」論證(例如哈恩-巴拿赫定理)至關重要。
  • F-空間:由一個具平移不變性的度量定義的完備拓撲向量空間,例子包括Lp空間(p > 0)。
  • 弗雷歇空間:局部凸的 F-空間。許多有趣的函數空間都是弗雷歇空間。
  • 核空間:使得映至任何巴拿赫空間的有界算子均為核算子的弗雷歇空間。
  • 賦範向量空間半賦範向量空間:顧名思義,即其拓撲由一範數或一族半範數定義的拓撲向量空間。在賦範向量空間中,一算子的連續性等價於有界性。
  • 巴拿赫空間:完備賦範向量空間。泛函分析學大部奠基於此。
  • 自反巴拿赫空間:使得自然映射 為同構的巴拿赫空間。非自反空間的重要例子之一是 空間。
  • 希爾伯特空間:拓撲由一內積定義的拓撲向量空間。雖然這類空間可能是無窮維的,大部分有限維上的幾何論證仍可照搬至此。
  • 歐幾里得空間:即有限維的豪斯多夫拓撲向量空間。

對偶空間[编辑]

拓撲向量空間 連續對偶空間定義為所有連續線性泛函構成的空間 ,其拓撲可定義為使對偶配對 為連續映射的最粗拓撲(稱為弱-*拓撲)。當 巴拿赫空間時, 可以藉算子範數在 上定義更細的拓撲,然而弱-*拓撲具有一些緊緻性定理(巴拿赫-阿劳格鲁定理),因而在應用中仍相當重要。

文獻[编辑]

  • A Grothendieck: Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973. ISBN 978-0-677-30020-7
  • G Köthe: Topological vector spaces. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969. ISBN 978-0-387-04509-2
  • Schaefer, Helmuth H. Topological vector spaces. New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-0-387-98726-2. 
  • Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. 1972. 
  • F Trèves: Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967. ISBN 978-0-486-45352-1.