招差术

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

招差术是中国古代数学中的高次内插法。秦九韶称为“招法”,“招差”一词为元代数学家、历法家王恂首创。元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式[1]

秦九韶招法[编辑]

秦九韶在《数书九章》中多次使用二次插值法。

《数书九章》卷十三 《计造石坝》

术曰:以商工求之,以招法入之

《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法(招差)。[2]

郭守敬王恂招差术[编辑]

郭守敬和王恂在《授时历》中大量使用三次内插法,他称为“招差”[3]。王恂推广隋唐时代二次内插法为三次内插法(招差术),用以计算太阳盈缩,太阴迟疾的差分,定差,平差,立差,并归纳出平立定三差计算公式。

視入歷盈者,在盈初縮末限已下,為初限,已上,反減半歲周,余為末限;縮者,在縮初盈末限已下,為初限,已上,反減半歲周,余為末限。其盈初縮末者,置立差三十一,以初末限乘之,加平差二萬四千六百,又以初末限乘之,用減定差五百一十三萬三千二百,余再以初末限乘之,滿億為度,不滿退除為分秒。縮初盈末者,置立差二十七,以初末限乘之,加平差二萬二千一百,又以初末限乘之,用減定差四百八十七萬六百,余再以初末限乘之,滿億為度,不滿退除為分秒,即所求盈縮差。[4]

  • 令 a 代表定差
  • 令 b 代表平差
  • 令 c 代表立差
  • 令 k 代表初末限
盈缩差=[5]

朱世杰招差术[编辑]

朱世杰四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式[1]

今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵,今招一十五方,每人日支钱二百五十文,问兵及支钱各几何。或问还原:依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵。今招一十五日,每人日支钱二百五十文,问招兵及支钱几何?
答曰:兵二万三千四百人,钱二万三千四百六十二贯。
术曰求得上差二十七,二差三十七,三差二十四,下差六
求兵者,今招为上积,又今招减一为茭草底子积为二积,又今招减二为三角底子积,又今招减三为三角一积为下积。以各差乘各积,四位并之,即招兵数也。

[6]

先求出上差(一次差),二差(二次差),三差(三次差)和下差(四次差),然后求出答案,是四次插值法(招差术)的运用[7]

日数 支錢累計數 每日支錢 招兵累计数 上差(每日招兵数) 二差 三差 下差
1 6.75 6.75 27 27
2 29.5 22.75 91 64 37
3 83.5 54 216 125 61 24
4 191.5 108 432 216 91 30 6
5 385.25 193.75 775 343 127 36 6


招兵累计数=

[8]

其中

  • a=上差
  • b=二差
  • c=三差
  • d=下差

梅文鼎[编辑]

清代数学家梅文鼎著有《平立定三差详说》,详解《授时历》的平定立三差法。[9]

参考文献[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 孔国平 439-444
  2. ^ 李俨 350-356
  3. ^ 吴文俊 169 页
  4. ^ 元史 卷54 志第6 曆三
  5. ^ 李俨 369-370
  6. ^ 朱世杰 113页>
  7. ^ 李俨 《中国算法对内插法定应用》375-382
  8. ^ 孔国平 440-441
  9. ^ 李俨.钱宝琮383 385页

来源[编辑]

书籍
  • 李俨. 《中算家电的内插法研究》. 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷二. 辽宁教育出版社. 1998. ISBN 978-7-538-24807-4. 
  • 孔国平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科学技术出版社. 2000. ISBN 978-7-537-51884-0. 
  • 朱世杰. 《四元玉鉴校证》. 李兆华 校证. 科学出版社. 2007. ISBN 978-7-030-20112-6. 
  • 吴文俊 主编 (编). 朱世杰的数学成就. 《中国数学史大系》 第六卷 第四编. : 206–280. ISBN 7-303-04927-4/O 请检查|isbn=值 (帮助).