指数分布

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特性函数

機率論統計學中,指數分配英语:Exponential distribution)是一種連續機率分佈。指數分配可以用来表示獨立隨機事件發生的時間間隔,比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。

指数分布描述[编辑]

概率密度函数[编辑]

一个指数分布的概率密度函数是:

其中λ > 0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate parameter)。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X 呈指数分布,则可以写作:X ~ Exponential(λ)。

累积分布函数[编辑]

累积分布函数可以写成:

记号[编辑]

若随机变量服从参数为的指数分布,则记为.

特性[编辑]

均值和方差[编辑]

随机变量X (X 的率参数是λ) 的期望值是:

比方说:如果你平均每个小时接到2次电话,那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。

X方差是:

X偏离系数是: V[X] = 1

无记忆性[编辑]

指数函数的一个重要特征是无记忆性(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)。这表示如果一个随机变量呈指数分布,它的条件概率遵循:

与泊松过程的关系[编辑]

泊松过程是一种重要的随机过程。泊松过程中,第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松过程的定义,长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于

,

长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 , 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内,第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。

四分位数[编辑]

率参数λ的四分位数函数(Quartile function)是:

  • 第一四分位数:
  • 中位数
  • 第三四分位数:

参数估计[编辑]

最大似然法[编辑]

给定独立同分布样本x = (x1, ..., xn),λ的似然函数(Likelihood function)是:

其中:

是样本均值。

似然函数对数导数是:

率参数的最大似然(Maximum likelihood)估计值是:

参考[编辑]

  1. Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
  2. Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401

外部連結[编辑]