指數增長

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
该图说明了指数增长(绿色)如何超过线性增长(红色)和幂增长(蓝色)。
  指数增长
  线性增长
  幂增长

指数增长(包括指数衰减)指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下,也称作几何增长几何衰减(函数值是一个等比数列)。

指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型

基本公式[编辑]

变量x指数地依赖时间t,若

x(t)=a\cdot b^{t/\tau}\,

其中常数ax的初始值,

x(0)=a\, ,

并且,常数b是正的增长率,τx增长b倍所需时间:

x(t+\tau)=x(t)\cdot b\, .

τ > 0且b > 1,则x为指数增长。若τ < 0且b > 1,或τ > 0且0 < b < 1,则x指数衰减

微分方程[编辑]

指数函数\scriptstyle x(t)=ae^{kt}满足线性微分方程

 \!\, \frac{dx}{dt} = kx

则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比,且初值为:

x(0)=a.\,

对于\scriptstyle a>0微分方程可以使用分离变量法求解:

\frac{dx}{dt} = kx
\Rightarrow \frac{dx}{x} = k\, dt
\Rightarrow \int \frac{dx}{x} = \int k \, dt
\Rightarrow \ln x =  kt + \text{constant}\, .

考虑到给定初值:

\ln x =  kt + \ln a\,
\Rightarrow x =  ae^{kt}\,

这种解法对于\scriptstyle a\le0同样适用。

对于该增长模型的非线性变体,请参考Logistic函數

引用[编辑]

参考文献[编辑]