指示函数

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集合論中,指示函数是定义在某集合X上的函数,表示其中有哪些元素属于某一子集A

指示函数有时候也称为特征函数。现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数

X的子集A的指示函数是函数,定义为

 若
 若

A的指示函数也记作

简单性质[编辑]

X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射,值域是所有函数的集合。

如果ABX的两个子集,那么

以及

更一般地,设A1, ..., AnX的子集。对任意,可知

当且仅当x不属于任何Ak

故有

展开左式

其中|F|是F。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示,指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方,例如在概率论:若X概率空间,有概率测度PA可测集,那么1A就是随机变量,其期望值等于A的概率。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。