指示函数

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数学中,指示函数是定义在某集合X上的函数,表示其中有哪些元素属于某一子集A

指示函数有时候也称为特征函数。现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数

X的子集A的特征函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace,定义为

1_A(x) = \begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\quad  若x \in A
 若x \notin A

A的指示函数也记作\chi_A(x)\,\qquad I_A(x)\,

简单性质[编辑]

X的子集A对应到它的指示函数的映射是单射,值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。

如果ABX的两个子集,那么

1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,

以及

1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B\,

对于1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,的推导 假设存在C=A\cap B, 则  X_{A\cap B}=X_C (这里理解应该直接把A∩B看作一个集合,下面推导于C无关)

1.当A∩B不是空集时, 存在

A∩B ⊆ A
A∩B ⊆ B

所以

X_{A\cap B} ⊆ X_A 
X_{A\cap B} ⊆ X_B 

a. 当x∈A且x∉A∩B时

X_{A\cap B} = 0

b. 当x∈B且x∉A∩B时

X_{A\cap B} = 0

c. 当x∈A∩B时

X_{A\cap B} = 1

d. 当x∉A且x∉B时

X_{A\cap B} = 0

2.当A∩B是空集时 存在 x∈A∩B,则x∉A,且x∉B 所以X_{A\cap B} = 0

所以对于公式X_{A\cap B}=X_AX_B,则可以看作一个点在整个平面上运动,这个点对应的X_{A\cap B}就是对应的X_AX_B


更一般地,设A1, ..., AnX的子集。对任意x \in X,可知

 \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x)) = 1当且仅当x不属于任何Ak,故有
 \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}

展开左式

 1_{\bigcup_{k} A_k} = 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}}(-1)^{|F|}\; 1_{\bigcap_F A_k}
= \sum_{\varnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1}\; 1_{\bigcap_F A_k}


其中|F|是F。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示,指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方,例如在概率论:若X概率空间,有概率测度PA可测集,那么1A就是随机变量期望值等于A的概率:

E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A)

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。