摩尔-彭若斯广义逆

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数学,特别是在线性代数中,一个矩阵的伪逆是广义的逆矩阵。其中最著名的伪逆要属摩尔-彭若斯广义逆 A+(Moore–Penrose pseudoinverse)。早在1903年,埃里克伊姆(Erik Ivar Fredholm)就引入了积分算子的伪逆的概念。之后摩尔-彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔(Eliakim Hastings Moore)(1920年)[1]阿恩·布耶哈马(Arne Bjerhammar)(1951年) [2]罗杰·彭罗斯(1955年)[3]发现或描述。如果没有特别指明,矩阵的伪逆就是指摩尔-彭若斯广义逆。广义逆有时也被当作摩尔-彭若斯广义逆的同义词用。 摩尔-彭若斯广义逆常应用于求非一致线性方程组的最小范数最小二乘解(最小二乘法),并使得解的形式变得简单。矩阵的摩尔-彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的,并且可以通过奇异值分解求得。

定义[编辑]

PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A,设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件:

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。这样定义显然不方便使用,彭若斯[3]于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件:

  1. 不一定是单位矩阵,但却不会改变的列向量。
  2. 是乘法半群弱逆
  3. 埃尔米特矩阵
  4. 也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G,就称为A的摩尔-彭若斯广义逆矩阵,记作A+

性质[编辑]

从摩尔-彭若斯条件出发,彭若斯[3]推导出了摩尔-彭若斯广义逆的一些性质:

  • 都是幂等矩阵。

参考[编辑]

书籍[编辑]

  • 张贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学出版社. 2004年9月: 85–99. ISBN 7-302-09271-0 (中文). 

文献[编辑]

  1. ^ Moore, E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society. 1920, 26 (9): 394–395. doi:10.1090/S0002-9904-1920-03322-7. 
  2. ^ Bjerhammar, Arne. Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations. Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm. 1951, 49. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Penrose, Roger. A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955, 51: 406–413. doi:10.1017/S0305004100030401.