收敛半径

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收敛半径数学中与幂级数有关的概念。一个幂级数收敛半径是一个非负的扩展实数(包括无穷大)。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内(严格小于时),幂级数对应的函数一致收敛,并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

定义[编辑]

定义幂级数f为:。其中常数a收敛圆盘的中心,cn为第n系数,z为变量。

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大(),使得在时幂级数收敛,在时幂级数发散。

具体来说,当za足够接近时,幂级数就会收敛,反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r的收敛圆上,幂级数的敛散性是不确定的:对某些z可能收敛,对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z都收敛,那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径的计算[编辑]

根据达朗贝尔审敛法,收敛半径满足:如果幂级数满足,则:

是正实数时,
时,
时,

根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式

或者

复分析中的收敛半径[编辑]

将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数,就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画:

一个中心为a的幂级数f的收敛半径R等于a与离a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到a的距离严格小于R的所有点组成的集合称为收敛圆盘

最近点的取法是在整个复平面中,而不仅仅是在实轴上,即使中心和系数都是实数时也是如此。例如:函数

没有复根。它在零处的泰勒展开为:

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的,函数在±i存在奇点,其与原点0的距离是1。


简单的例子[编辑]

三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数:

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子[编辑]

考虑如下幂级数展开:

其中有理数Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数,很难运用审敛法来计算收敛半径,但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果:当z=0时,函数没有奇性,因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值,即使得

的复数z。设z = x + iy,那么

要使之等于1,则虚部必须为零。于是有,其中。同时得到。回代后发现只能为偶数,于是使得分母为零的z的形式,其中

离原点最近距离为,于是收敛半径为

收敛圆上的敛散性[编辑]

如果幂级数在a附近可展,并且收敛半径为r,那么所有满足 |za| = r的点的集合(收敛圆盘的边界)是一个圆,称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛,也不一定绝对收敛


例1:函数ƒ(z) = (1 − z)−1z = 0处展开的幂级数收敛半径为1,并在收敛圆上的所有点处发散。

例2:函数g(z) = ln(1 − z)在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1,在z = 1处发散但除此之外,在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(z)是 -g(z)的复导数

例3:幂级数

的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数,那么h(z)是例2中的g(z)除以z後的导数。h(z)是双对数函数。

例4:幂级数

的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛,但是并不在收敛圆上绝对收敛[1]

收敛速率[编辑]

将下列函数在x = 0处展开:

可以看到收敛半径为,也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是,在实际操作中,人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如,要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效数字,只需要计算级数的前两项。然而,在x = 1时,要得到相同的精确度,就要计算前5项。对于ƒ(10),需要18项,对于ƒ(100)则需要141项。

文中提及的曲线的图例:红、蓝线为逼近线,白圈为收敛圆。

可以看出,越靠近中心,收敛的速度就越快,反之则收敛速率降低。

图例[编辑]

考虑函数1/(z2 + 1),对应的图像见右。函数在z = i处有极点

与上面的例子类似,由于最近的奇点与原点距离为1,收敛半径为1。函数在z = 0处的泰勒级数收敛当且仅当 |z| < 1。

狄利克雷级数的收敛度规[编辑]

与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数收敛度规,也就是使得级数收敛的最小的s,其只依赖于数列an

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Sierpiński, Wacław, O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka, 1918, 29: 263–266 

外部链接[编辑]