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整数

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超實數
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規矩數
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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

群论
Rubik's cube.svg

整数,是序列{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}中所有的的统称,包括负整数(0)与正整数。和自然數一樣,整數也是一個可數無限集合。這個集合在数学上通常表示为粗體Z,源于德语单词Zahlen(意为“”)的首字母

代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数[编辑]

整數是一个集合,通常可以分为正整數、零(0)和負整數。正整數(符号:Z+)即大於0的整數,是正数与整数的交集。而負整數(符号:Z-)即小於0的整數,是负数与整数的交集。和整數一样,两者都是可數無限集合。除正整數和負整數外,通常将0與正整數统称为非負整數(符号:Z+0),而将0與負整數统称为非正整數(符号:Z-0)。在数论自然数通常被视为与正整數等同,即1,2,3等,但在集合论计算机科学中自然数则通常是指非负整数,即0,1,2等。

代数性质[编辑]

下表给出任何整数加法乘法的基本性质。

性質 加法 乘法
封闭性   是整数    是整数
结合律
交换律
存在单位元
存在逆元 整数集中,只有1-1关于乘法存在整数逆元,其余整数关于乘法的逆元,都不为整数。
分配律

全体整数关于加法乘法形成一个环。环论中的整环无零因子环唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与(Z,+)同构

有序性质[编辑]

Z是一个全序集,没有上界和下界。Z的序列如下:

...< −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一个整数大于零则为正,小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的,表示如下:

  1. ,则
  2. ,则;若,则.

整数环是一个欧几里德域

電腦中的整數[编辑]

Z的基數[编辑]

Z基數(或)是0,與N相同。這可以從Z建立一雙射函數N來證明,亦即該函數要同時滿足單射滿射的條件,例如:

當該函數的定義域僅限於Z,則證明ZN可建立一一對應的關係,即兩集等勢

参见[编辑]