整数

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各种各样的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

群论
Rubik's cube.svg

整数,是序列{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}中所有的的统称,包括负整数(0)与正整数。和自然數一樣,整數也是一個可數無限集合。這個集合在数学上通常表示为粗體Z\mathbb{Z},源于德语单词Zahlen(意为“”)的首字母

代數數論中,這些屬於有理數一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数[编辑]

整數是一个集合,通常可以分为正整數、零(0)和負整數。正整數(符号:Z+\mathbb{Z}^{+})即大於0的整數,是正数与整数的交集。而負整數(符号:Z-\mathbb{Z}^{-})即小於0的整數,是负数与整数的交集。和整數一样,两者都是可數無限集合。除正整數和負整數外,通常将0與正整數统称为非負整數(符号:Z+0\mathbb{Z}^{+}_{0}),而将0與負整數统称为非正整數(符号:Z-0\mathbb{Z}^{-}_{0})。在数论自然数通常被视为与正整數等同,即1,2,3等,但在集合论计算机科学中自然数则通常是指非负整数,即0,1,2等。

代数性质[编辑]

下表给出任何整数abc加法乘法的基本性质。

性質 加法 乘法
封闭性 a + b  是整数 a \times b   是整数
结合律 a + (b + c) = (a + b) + c a \times (b \times c) = (a \times b) \times c
交换律 a + b = b + a a \times b = b \times a
存在单位元 a + \boldsymbol {0}  = a a \times \boldsymbol {1} = a
存在逆元 a + (\boldsymbol {-a}) = 0 整数集中,只有1-1关于乘法存在整数逆元,其余整数a关于乘法的逆元\frac{1}{a},都不为整数。
分配律 a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

全体整数关于加法乘法形成一个环。环论中的整环无零因子环唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与(Z,+)同构

有序性质[编辑]

Z是一个全序集,没有上界和下界。Z的序列如下:

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一个整数大于零则为,小于零则为。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的,表示如下:

  1. a < bc < d,则a + c < b + d
  2. a < b且0 < c,则a × c < b × c;若c < 0,

a × c > b × c.

整数环是一个欧几里德域

電腦中的整數[编辑]

Z的基數[编辑]

Z基數(或)是0,與N相同。這可以從Z建立一雙射函數N來證明,亦即該函數要同時滿足單射滿射的條件,例如:

f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}

當該函數的定義域僅限於Z,則證明ZN可建立一一對應的關係,即兩集等勢

参见[编辑]