整数模n乘法群

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

同余理论中,模 n互质同余类组成一个乘法,称为整数模 n 乘法群,也称为模 n 既约剩余类。在环理论中,一个抽象代数的分支,也称这个群为整数模 n 的环的单位群(单位是指乘法可逆元)。

这个群是数论的基石,在密码学整数分解素性测试均有运用。例如,关于这个群的阶(即群的“大小”),我们可以确定如果 n质数当且仅当阶数为 n-1。

群公理[编辑]

容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。

恒同: 1 是恒同;
闭:如果 ab 都与 n 互质,那么 ab 也是;
逆:找 x 满足 ax ≡ 1 (mod n) 等价于解 ax + ny = 1,可用欧几里得算法求出x,并且x在模n的同余类里。
结合性和交换性:由整数的相应事实以及模 n 运算是一个环同态推出。

记法[编辑]

整数模 n 环记作 (即整数环模去理想 nZ = (n) ,由 n 的倍数组成)或 因作者所喜,它的单位群可能记为 或类似的记号,本文采用

结构[编辑]

2 的幂次[编辑]

模 2 只有一个互质同余类 1,所以 平凡。

模 4 有两个互质同余类,1 和 3,所以 两元循环群。

模 8 有四个互质同余类,1, 3, 5 和 7,每个平方都是 1,所以 Klein 四元群

模 16 有八个互质同余类,1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。 为 2-扭子群(即每个元素的平方为 1),所以 不是循环群。3的幂次: 是一个 4 阶子群,5 的幂次也是,。所以

以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2k, k > 2[1] 也成立: 是 2-扭子群(所以 不是循环)而 3 的幂次是一个2k- 2 子群,所以

奇质数的幂[编辑]

对奇质数的幂 pk,此群是循环群:[2]

一般合数[编辑]

中国剩余定理[3] 说明如果 那么环 每个质数幂因子相应的环的直积

类似地, 的单位群是每个质数幂因子相应群的直积:

阶数[编辑]

群的阶数由欧拉函数给出:OEIS中的数列A000010) 这是直积中各循环阶数的乘积。

指数[编辑]

指数为卡邁克爾函數,(OEIS中的数列A002322),即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 an 互质,

生成元[编辑]

循环群当且仅当 这在 n 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立,此时也称一个生成元为模 n 的原根

因为所有 n = 1, 2, ..., 7 是循环群,上述结论的另一种说法是:如果 n < 8 那么 有原根;如果 n ≥ 8,且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除, 有原根。(OEISA033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )

一般情形每个直积因子循环有一个生成元。

列表[编辑]

这个表列出了较小 n 的结构和生成元。生成元不是惟一(mod n)的,比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。

n=20 为例。 意味着 的阶数是 8(即有 8 个小于 20 的正整数与其互质); 说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20);至于生成元,19 的指数为2,3 的指数为 4,而任何 中元素都是 19a × 3b 的形式,这里 a 为 0 或 1,b 为 0, 1, 2, 或 3。

19 的幂是 {±1},3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20),{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。

(Z/nZ)× 的群结构
生成元   生成元   生成元
1 C1 1 1 0 32 C2×C8 16 8 31, 3 63 C6×C6 36 6 2, 5
2 C1 1 1 1 33 C2×C10 20 10 10, 2 64 C2×C16 32 16 3, 63
3 C2 2 2 2 34 C16 16 16 3 65 C4×C12 48 12 2, 12
4 C2 2 2 3 35 C2×C12 24 12 6, 2 66 C2×C10 20 10 5, 7
5 C4 4 4 2 36 C2×C6 12 6 19, 5 67 C66 66 66 2
6 C2 2 2 5 37 C36 36 36 2 68 C2×C16 32 16 3, 67
7 C6 6 6 3 38 C18 18 18 3 69 C2×C22 44 22 2, 68
8 C2×C2 4 2 7, 3 39 C2×C12 24 12 38, 2 70 C2×C12 24 12 3, 11
9 C6 6 6 2 40 C2×C2×C4 16 4 39, 11, 3 71 C70 70 70 7
10 C4 4 4 3 41 C40 40 40 6 72 C2×C2×C6 24 12 5, 7, 11
11 C10 10 10 2 42 C2×C6 12 6 13, 5 73 C72 72 72 5
12 C2×C2 4 2 5, 7 43 C42 42 42 3 74 C36 36 36 5
13 C12 12 12 2 44 C2×C10 20 10 43, 3 75 C2×C20 40 20 2, 74
14 C6 6 6 3 45 C2×C12 24 12 44, 2 76 C2×C18 36 18 3, 75
15 C2×C4 8 4 14, 2 46 C22 22 22 5 77 C2×C30 60 30 2, 76
16 C2×C4 8 4 15, 3 47 C46 46 46 5 78 C2×C12 24 12 5, 7
17 C16 16 16 3 48 C2×C2×C4 16 4 47, 7, 5 79 C78 78 78 3
18 C6 6 6 5 49 C42 42 42 3 80 C2×C4×C4 32 4 3, 7, 11
19 C18 18 18 2 50 C20 20 20 3 81 C54 54 54 2
20 C2×C4 8 4 19, 3 51 C2×C16 32 16 50, 5 82 C40 40 40 7
21 C2×C6 12 6 20, 2 52 C2×C12 24 12 51, 7 83 C82 82 82 2
22 C10 10 10 7 53 C52 52 52 2 84 C2×C2×C6 24 12 5, 11, 13
23 C22 22 22 5 54 C18 18 18 5 85 C4×C16 64 16 2, 3
24 C2×C2×C2 8 2 5, 7, 13 55 C2×C20 40 20 21, 2 86 C42 42 42 3
25 C20 20 20 2 56 C2×C2×C6 24 6 13, 29, 3 87 C2×C28 56 28 2, 86
26 C12 12 12 7 57 C2×C18 36 18 20, 2 88 C2×C2×C10 40 10 3, 5, 7
27 C18 18 18 2 58 C28 28 28 3 89 C88 88 88 3
28 C2×C6 12 6 13, 3 59 C58 58 58 2 90 C2×C12 24 12 7, 11
29 C28 28 28 2 60 C2×C2×C4 16 4 11, 19, 7 91 C6×C12 72 12 2, 3
30 C2×C4 8 4 11, 7 61 C60 60 60 2 92 C2×C22 44 22 3, 91
31 C30 30 30 3 62 C30 30 30 3 93 C2×C30 60 30 5, 11

参见[编辑]

Lenstra 椭圆曲线分解en:Lenstra elliptic curve factorizationLenstra 给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法)

注释[编辑]

  1. ^ 高斯, DA, arts. 90-91
  2. ^ 高斯, DA, arts.52-56, 82-89
  3. ^ Riesel 包含所有情形。 pp. 267-275

参考文献[编辑]

高斯算术研究(Disquisitiones Arithemeticae)由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文:所有关于二次互反律的证明,高斯和符号的确定,双二次互反律的研究以及未发表的笔记。

  • Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549 
  • Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 
  • Riesel, Hans, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5 

外部链接[编辑]