整除规则

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

整除数学中两个自然数之间的一种关系。自然数a可以被自然数b整除,是指b是a的因數,且a是b的整数倍数,也就是a以b没有餘数。下面列出了十进制中判断一个整数除以另外一个整数的商为整数,且余数为零的一些规则。

基本判别[编辑]

  • 0----為所有整數之倍數。
  • ±1----為所有整數之因數。

可于最后几位判别[编辑]

判別是否有的因數,取其最後k位,除以,可除盡即是。
  • ±2----所有偶數(0,2,4,6,8結尾)皆有此因數。如:2,-6,989896,11111112,-454
  • ±4----若最後兩位數可以被4除盡,即是。如:9898989898540 → 40/4 = 10
  • ±8----若最後三位數可以被8除盡,即是。如:8000,1256000,95872
  • ±5----查看最後一位數。如果可以被5除盡(為0或5),即是。如:5454545,45454500,50
  • ±10---看最後一位數為0即是。如:530,73500,50

可由各数位判别[编辑]

  • ±3----若所有位數加起來為3的倍數,即是。如:69255 → (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3 = 27/3 = 9
  • ±9----所有位數加起來為9的倍數,即是。如:69255→(6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9 = 27/9 = 3

注意到我们现在是在十进制下做运算,而 9=10-1。事实上对于任意 p 进制下的除法,当除数是 p-1 时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明:

  1. 对于被除数为零的情况,命题是平凡的。
  2. 在任何 p 进制下,首先考虑一个仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数,该数可写成 ,其中 是最高位(第 i 位)数字、,而表示后面有 i 个零。
  3. 那么 ,除以 ,前项显然整除,故,推论得
  4. 而任何 p 进制数均可写成的形式,根据上面的结果,这个和显然与 同余。证毕

  • ±11---將其奇數位之和及偶數位之和相減,如果是0,11等11的倍數,即是。如:19866/11→1 + 8 + 6 – (9 + 6)=0
  • ±7, ±13---设正整数,所以

若a=75312289,则,289-312+75=52,a能被13整除,不能被7整除。[1]

合数判别[编辑]

  • ±6----同時符合±2(末位是0,2,4,6,8)和±3(相加可除盡)的條件。(因為6=2×3)如:66,7986252,99999996
  • ±12---同時符合±4和±3(相加可除盡)的條件。(因為12=×3)如:60

连续割头法[编辑]

  • ±7----将个位前的数字乘以3再与个位数相加,得出7的倍数即7的倍数。如:154→49→21→7
  • ±13---将个位前的数字乘以3再与个位数相减,得出13的倍数即13的倍数。如:156→-39→0

  • ±23----将十位前的数字乘以15再与十位数相减,得出23的倍数即23的倍数。如:207→-23
  • ±31----将十位前的数字乘以7再与十位数相加,得出31的倍数即31的倍数。如:155→62
  • ±37----将十位前的数字乘以11再与十位数相减,得出37的倍数即37的倍数。如:333→0

连续割尾法[编辑]

其中x由得出。

  • ±7----将个位数乘以5再与个位前的数字相加,得出7的倍数即7的倍数。如:154→35
  • ±19---将个位数乘以2再与个位前的数字相加,得出19的倍数即19的倍数。如:152→19

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 闵嗣鹤 严士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52页. ISBN 978-7-04-011874-2.