整除规则

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整除数学中两个自然数之间的一种关系。自然数a可以被自然数b整除,是指b是a的因數,且a是b的整数倍数,也就是a以b没有餘数。下面列出了部分一个整数除以另外一个整数的商为整数,且余数为零的规则。

基本判别[编辑]

  • 0----為所有整數之倍數。
  • ±1----為所有整數之因數。

可于最后几位判别[编辑]

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{2^k}

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{5^k}

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{10^k}

判別是否有2^k5^k的因數,取其最後k位,除以2^k5^k,可除盡即是。
  • ±2----所有偶數(0,2,4,6,8結尾)皆有此因數。如:2,-6,989896,11111112,-454
  • ±4----若最後兩位數可以被4除盡,即是。如:9898989898540 → 40/4 = 10
  • ±8----若最後三位數可以被8除盡,即是。如:8000,1256000,95872
  • ±5----查看最後一位數。如果可以被5除盡(為0或5),即是。如:5454545,45454500,50
  • ±10---看最後一位數為0即是。如:530,73500,50

可由各数位判别[编辑]

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{3}

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{9}

  • ±3----若所有位數加起來為3的倍數,即是。如:69255 → (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3 = 27/3 = 9
  • ±9----所有位數加起來為9的倍數,即是。如:69255→(6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9 = 27/9 = 3

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r \pmod{11}

  • ±11---將其奇數位之和及偶數位之和相減,如果是0,11等11的倍數,即是。如:19866/11→1 + 8 + 6 – (9 + 6)=0

合数判别[编辑]

  • ±6----同時符合±2(末位是0,2,4,6,8)和±3(相加可除盡)的條件。(因為6=2×3)如:66,7986252,99999996
  • ±12---同時符合±4和±3(相加可除盡)的條件。(因為12=2^2×3)如:60

连续割头法[编辑]

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10\sum_{r=0}^{n-1} 10^r a_{r+1} \pmod{k}

  • ±7----将个位前的数字乘以3再与个位数相加,得出7的倍数即7的倍数。如:154→49→21→7
  • ±13---将个位前的数字乘以3再与个位数相减,得出13的倍数即13的倍数。如:156→-39→0

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10a_1+100\sum_{r=0}^{n-2} 10^r a_{r+2} \pmod{k}

  • ±23----将十位前的数字乘以15再与十位数相减,得出23的倍数即23的倍数。如:207→-23
  • ±31----将十位前的数字乘以7再与十位数相加,得出31的倍数即31的倍数。如:155→62
  • ±37----将十位前的数字乘以11再与十位数相减,得出37的倍数即37的倍数。如:333→0

连续割尾法[编辑]

a_0+10\sum_{r=0}^{n-1} 10^r a_{r+1} \equiv xa_0+\sum_{r=0}^{n-1} 10^r a_{r+1} \pmod{k}

其中x由10x \equiv 1 \pmod{k}得出。

  • ±7----将个位数乘以5再与个位前的数字相加,得出7的倍数即7的倍数。如:154→35
  • ±19---将个位数乘以2再与个位前的数字相加,得出19的倍数即19的倍数。如:152→19

参见[编辑]