整除规则

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整除数学中两个自然数之间的一种关系。自然数a可以被自然数b整除,是指b是a的因數,且a是b的整数倍数,也就是a以b没有餘数。下面列出了十进制中判断一个整数除以另外一个整数的商为整数,且余数为零的一些规则。

基本判别[编辑]

  • 0----為所有整數之倍數。
  • ±1----為所有整數之因數。

可于最后几位判别[编辑]

因为 2 和 5 都是 10 的因数,故在十进制下判別是否有的因數只需取其最後k位,除以,可除盡即是

  • ±2:所有偶數(0,2,4,6,8結尾)皆有此因數。如:2、-6、989896、11111112、-454
  • ±4:最後兩位數可以被 4 除盡,即是。如:9898989898540→40/4=10
  • ±8:若最後三位數可以被 8 除盡,即是。如:8000、1256000、95872
  • ±5:查看最後一位數。如果可以被 5 除盡(為 0 或 5),即是。如:5454545、45454500、50
  • ±10:看最後一位數為 0(即末两位为 10 的整倍数)即是。如:530,73500,50

上面的性质亦可推广到求余数:



甚至非十进制下也是一样。例如十六进制:2、4、8 都是 16 的因数,故某数的末 k 位除以 ,所得余数与原数同余。

可由各数位判别[编辑]

  • ±3----若所有位數加起來為3的倍數,即是。如:69255 → (6 + 9 + 2 + 5 + 5)/3 = 27/3 = 9
  • ±9----所有位數加起來為9的倍數,即是。如:69255→(6 + 9 + 2 + 5 + 5)/9 = 27/9 = 3

注意到我们现在是在十进制下做运算,而 9=10-1。事实上对于任意 进制下的非负整数除法,当除数是 时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明:

  1. 对于被除数为零的情况,命题是平凡的。
  2. 在任何 进制下,首先考虑一个仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数,该数可写成 ,其中 是最高位(第 位)数字、,而 表示后面有 个零。( 进制逢 进一, 次方自然是 后面 个零。)
  3. 那么 ,除以 ,前项显然整除,故 ,推论得
  4. 而任何 进制正整数均可写成 的形式,根据上面的结果,这个和(即是该数本身)显然与所有数字之和 同余。证毕

  • ±11---將其奇數位之和及偶數位之和相減,如果是0,11等11的倍數,即是。如:19866/11→1 + 8 + 6 – (9 + 6)=0
  • ±7, ±13---设正整数,所以

若a=75312289,则,289-312+75=52,a能被13整除,不能被7整除。[1]

合数判别[编辑]

  • ±6----同時符合±2(末位是0,2,4,6,8)和±3(相加可除盡)的條件。(因為6=2×3)如:66,7986252,99999996
  • ±12---同時符合±4和±3(相加可除盡)的條件。(因為12=×3)如:60

连续割头法[编辑]

  • ±7----将个位前的数字乘以3再与个位数相加,得出7的倍数即7的倍数。如:154→49→21→7
  • ±13---将个位前的数字乘以3再与个位数相减,得出13的倍数即13的倍数。如:156→-39→0

  • ±23----将十位前的数字乘以15再与十位数相减,得出23的倍数即23的倍数。如:207→-23
  • ±31----将十位前的数字乘以7再与十位数相加,得出31的倍数即31的倍数。如:155→62
  • ±37----将十位前的数字乘以11再与十位数相减,得出37的倍数即37的倍数。如:333→0

连续割尾法[编辑]

其中x由得出。

  • ±7----将个位数乘以5再与个位前的数字相加,得出7的倍数即7的倍数。如:154→35
  • ±19---将个位数乘以2再与个位前的数字相加,得出19的倍数即19的倍数。如:152→19

1到30的整除规则总表[编辑]

整除数 整除规则 示例
1 没有任何附加条件,任何整数都能被1整除。 2能被1整除。
2 末位是偶数(0、2、4、6、8)。 1294:末位4是偶数,能被2整除。
3 计算各位之和,其结果能被3整除。 405 → 4 + 0 + 5 = 9,636 → 6 + 3 + 6 = 15,两者都能被3整除。
16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6=69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6,能被3整除。
分别统计1、4、7出现总数与2、5、8出现总数,两者之差能被3整除。 16,499,205,854,376:数字1、4、7出现总数是4,数字2、5、8出现总数是4,4-4=0,能被3整除。
4 末两位能被4整除。 40,832:末两位32,能被4整除。
十位数为偶数时,个位数为0、4、8。
十位数为奇数时,个位数为2、6。
40,832:十位数3是奇数,个位数为2,能被4整除。
十位数乘2加个位数,其结果能被4整除。 40832: 2 × 3 + 2 = 8,能被4整除。
5 末位是0、5。 495:末位是5,能被5整除。
6 能同时被2、3整除。 1458:1 + 4 + 5 + 8 = 18,能被3整除;末位数2是偶数,能被2整除,继而能被6整除。
7 千位分隔符分组,从右往左每组交替加减,其结果能被7整除。 1,369,851:851 − 369 + 1 = 483,能被7整除。
十位数乘2,并从其余位中减去,其结果能被7整除。 483:48 − (3 × 2) = 42,能被7整除。
十位数乘5,加到其余位中,其结果能被7整除。 483:48 + (3 × 5) = 63,能被7整除。
最高位乘3,与次高位相加,替换掉头两位,其能被7整除。 483:4×3 + 8 = '20',将20替换掉48;

203:2×3 + 0 = '6',将6替换掉20;

63:6×3 + 3 = 21,能被7整除。

末两位加其余位乘以2,其结果能被7整除。 483,595:95 + (2 × 4835) = 9765:65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63,能被7整除。
从末位起由右至左依次乘1、3、2、-1、-3、-2(构成循环),相加的结果能被7整除。 483,595:(4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7,能被7整除。
8 百位数是偶数时,末两位是个能被8整除的数字。 624:百位数6是偶数,末两位24,能被8整除。
百位数是奇数时,末两位加4是个能被8整除的数字。 352:百位数3是奇数,末两位52+4=56,能被8整除。
末位加其余位乘2,其结果能被8整除。 56:(5 × 2) + 6 = 16,能被8整除。
末三位能被8整除。 34,152:末三位152能被8整除。
百位乘4加十位乘2加个位,其结果能被8整除。 34,152:1 × 4 + 5 × 2 + 2 = 16,能被8整除。
9 计算各位之和,其结果能被9整除。 2880:2 + 8 + 8 + 0 = 18:1 + 8 = 9,能被9整除。
10 末位是0。 130:末位是0,能被10整除。
11 从高位到低位交错加减,其结果能被11整除。 918,082:9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22,能被11整除。
从右往左每两位为一组,每组相加的结果能被11整除。 627:6 + 27 = 33,能被11整除。
末位从其余位从减去,其结果能被11整除。 627:62 − 7 = 55,能被11整除。
将个位数加到百位中,其结果能被11整除。 627:62 + 70 = 132:13 + 20 = 33,能被11整除。
该数为偶数位数时,首位减末位,加到其余位,其结果能被11整除。 918,082(六位数) → 1808 + 9 − 2 = 1815:81 + 1 − 5 = 77,能被11整除。
该数为奇数位数时,首位加末位,从其余位中减去,其结果能被11整除。 14,179(五位数)→ 417 − (1 + 9) = 407:0 - (4 + 7) = -11,能被11整除。
12 能同时被3、4整除。 324:能同时被3、4整除,继而能被12整除。
将末位从其余位乘2中减去,其结果能被12整除。 324:32 × 2 − 4 = 60,能被12整除。
13 千位分隔符分组,从右往左每组交替加减,其结果能被13整除。 2,911,272:2 - 911 + 272 = -637,能被13整除。
末位乘4,加到其余位中,其结果能被13整除。 637:63 + 7 × 4 = 91,9 + 1 × 4 = 13,能被13整除。
将末两位从其余痊乘4中减去,其结果能被13整除。 923:9 × 4 - 23 = 13,能被13整除。
末位乘9,从其余位中减去,其结果能被13整除。 637:63 - 7 × 9 = 0,能被13整除。
14 能同时被2、7整除。 224:能同时被2、7整除,继而能被14整除。
末两位与其余位乘2相加,其结果能被14整除。 364:3 × 2 + 64 = 70
1764: 17 × 2 + 64 = 98,两者都能被14整除。
15 能同时被3、5整除。 390:能同时被3、5整除,继而能被15整除。
16 千位数是偶数时,末三位能被16整除。 254,176:千位数4是偶数,末三位176,能被16整除。
千位数是奇数时,末三位加8能被16整除。 3408:千位数3是奇数,末三位408 + 8 = 416,能被16整除。
末两位与其余位乘4相加,其结果能被16整除。 176:1 × 4 + 76 = 80,

1168:11 × 4 + 68 = 112,两者都能被16整除。

末四位能被16整除。 157,648:末四位7648能被16整除。
17 末位乘5,从其余位中减去,其结果能被17整除。 221:22 − 1 × 5 = 17,能被17整除。
将末两位从其余位乘2中减去,其结果能被17整除。 4,675:46 × 2 - 75 = 17,能被17整除。
18 能同时被2、9整除。 342:能同时被2、9整除,继而能被18整除。
19 末位乘2,加到其余位中,其结果能被19整除。 437:43 + 7 × 2 = 57,能被19整除。
末两位乘4,加到其余位中,其结果能被19整除。 6935:69 + 35 × 4 = 209,能被19整除。
20 末位是0,次末位是偶数。 360:末位是0,次末位6是偶数,能被20整除。
末两位能被20整除。 480:末两位80,能被20整除。
21 末位乘2,从其余位中减去,其结果能被21整除。 168:16 − 8 × 2 = 0,能被21整除。
能同时被3、7整除。 231:能同时被3、7整除,继而能被21整除。
22 能同时被2、11整除。 352:能同时被2、11整除,继而能被22整除。
23 末位乘7,加到其余位中,其结果能被23整除。 3128:312 + 8 × 7 = 368,36 + 8 × 7 = 92,能被23整除。
末两位乘3,加到其余位中,其结果能被23整除。 1725:17 + 25 × 3 = 92,能被23整除。
24 能同时被3、8整除。 552:能同时被3、8整除,继而能被24整除。
25 末两位是能被25整除的数(00、25、50、75) 134,250:末两位50,能被25整除。
26 能同时被2、13整除。 156:能同时被2、13整除,继而能被26整除。
27 千位分隔符分组,各组相加,其结果能被27整除。 2,644,272:2 + 644 + 272 = 918,能被27整除。
末位乘8,从其余位中减去,其结果能被27整除。 621:62 − 1 × 8 = 54,能被27整除。
将末两位从其余位乘8中减去,其结果能被27整除。 6507:65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513,能被27整除。
28 能同时被4、7整除。 140:能同时被4、7整除,继而能被28整除。
29 末位乘3,加到其余位中,其结果能被29整除。 348:34 + 8 × 3 = 58,能被29整除。
末两位乘9,加到其余位中,其结果能被29整除。 5510:55 + 10 × 9 = 145,能被29整除。
30 能同时被3、10整除。 270:能同时被3、10整除,继而能被30整除。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 闵嗣鹤 严士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52页. ISBN 978-7-04-011874-2.