數學之美

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曼德博集合的邊界
以簡單方法推論勾股定理

數學之美指的是從數學裡得出的美學。數學家形容數學是美麗的。有時,數學家會形容數學是一種藝術的形式,或是一個創造性的活動,通常與音樂詩歌相比較。伯特蘭·羅素以下列文字形容他對數學之美的感覺:

数学,正确看待时,不仅具有真理,还具有至高的美-像雕塑一样冷酷而严肃,没有吸引到我们任何一種弱小本性,也没有绘画或音乐的华丽装饰,而是崇高地纯粹、絕對地完美,就如最伟大的艺术。数学中一定能找到最卓越的试金石——超越人類時之喜悦感,像寫诗時一样。[1]

保羅·埃爾德什認為數學不可言說:「為何數字美麗呢?這就像是在問為何貝多芬第九號交響曲美麗。若你不知道為何,其他人也無法告訴你。我知道數字是美麗的。且若它們不是美麗的話,世上也沒有事物美麗了。[2]

解法之美[编辑]

數學家形容部分特別的證明方法為「優美的」。依據其內容,這可以是指:

  • 用了少量的額外假設或之前結論的證明。
  • 極短的證明。
  • 由意外的方式導出的證明(即由一表面上無關的定理或一群定理)。
  • 基於新的及原本洞悉的證明。
  • 可輕易推至相似問題之解題的證明方法。

為了尋找優美的證明,數學家常會尋求不同證明的方法,而第一個被找到的證明可能不是最好的。有著最多被找到的不同證明方法的定理為勾股定理,已有上百的證明被發表了出來。另一個被以許多不同方法證明出來的定理為二次互反律的定理,僅高斯一人便給出了此定理八種不同的證明。

相反地,若結論是邏輯上正確的,但包含有費工的計算、過度複雜的方法、極普通的處理方法或需依靠大量有力的公理或不被認為優美的之前結論,則稱此為「醜陋的」或「笨拙的」。這和奧卡姆剃刀的概念有關。

結論之美[编辑]

數學家看數學結論的美,於其在第一眼看似完全無關的兩個數學領域間建立著關連性。這種結論通常被形容為「深奧的」。

因為很難得到「一結論是否為深奧」的共識,某些例子便常被引用來說明。其中一個為歐拉恆等式e + 1 = 0,它被費曼稱為「數學內最著名的公式」。現代的例子則包含有建立起橢圓曲線模形式之間關連性的谷山-志村定理(此結論使安德魯·懷爾斯羅伯特·郎蘭茲得到了沃爾夫獎),和以弦理論接連了怪獸群模函數怪獸月光理查·波傑蒂斯因此得到了菲爾茲獎)。

和「深奧的」相對之為「當然的」。一當然的定理會是個可以由一已知結論經一明顯及簡單的方法導出的結論,或者是只應用在如空集合等特定集合的結論。但有時一定理的敘述亦可因夠原始而被認為是深奧的。

體驗之美[编辑]

對於操縱數字符號的一些喜好是從事任何數學相關的必須要件。在科學工程領域的數學工具,似乎都會在其技術社會和其科學哲學裡主動地培育出美學裡。

對於大多數的數學家而言,數學之美最強烈的體驗來自於積極地從事數學研究。以純粹被動的方式是很難享受及欣賞數學的-在數學裡,是沒有觀眾及聽眾的。

伯特蘭·羅素指這是數學的「樸素之美」。

繪圖之美[编辑]

在座標平面或座標立體上繪製方程式,有時會畫出很美的東西。

另見[编辑]

腳註[编辑]

  1. ^ Russell, Bertrand. The Study of Mathematics. Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman. 1919: 60 [2008-08-22]. 
  2. ^ Devlin, Keith. Do Mathematicians Have Different Brains?. The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip. Basic Books. 2000: 140 [2008-08-22]. ISBN 978-0-465-01619-8. 

參考文獻[编辑]

  • Aigner, Martin, and Ziegler, Gunter M. (2003), Proofs from THE BOOK, 3rd edition, Springer-Verlag.
  • 蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡 (1987), Truth and Beauty. Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
  • 雅克·阿達馬 (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
  • G.H.Hardy (1940), A Mathematician's Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C.P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
  • Hoffman, Paul (1992), The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion.
  • Huntley, H.E. (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Publications, New York, NY.
  • Loomis, Elisha Scott (1968), The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.
  • Peitgen, H.-O., and Richter, P.H. (1986), The Beauty of Fractals, Springer-Verlag.
  • Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.

外部連結[编辑]