數學之美

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以簡單方法推論勾股定理

數學之美是指從數學裡得出的美學。有數學家從數學中得到美的愉悅,形容數學是一種藝術形式,或是一種創造力活動,就如音樂詩歌伯特蘭·羅素以下列文字形容他心中的數學之美:

数学,正确看待时,不仅具有真理,还具有至高的美-像雕塑一样冷酷而严肃,没有吸引到我们任何一種弱小本性,也没有绘画或音乐的华丽装饰,而是纯粹地崇高、絕對地完美,是最伟大的艺术。数学中一定能找到最卓越的试金石——超越自我时之喜悦感,如同写诗。[1]

保羅·埃爾德什認為數學不可言說:「為何數字美麗呢?這就像是在問為何貝多芬第九號交響曲美麗。若如你不知道為何,其他人也無法告訴你。我知道數字是美麗的,若它們不是美麗的話,世上也沒有事物美麗了。[2]

解法之美[编辑]

數學家形容一些獨特的證明方法為「優美」。可以是指:

  • 用了少量額外假設或之前結論的證明。
  • 極短的證明。
  • 由意外的方式推導出的證明(即由一表面上無關的定理或一群定理證明出另一結論)。
  • 基於新的及原本洞悉的證明。
  • 可輕易推至相似問題解決的證明方法。

為了尋找優美的證明,數學家常會尋求不同證明的方法,而第一個被找到的證明可能不是最好的。被找到最多不同證明方法的定理是勾股定理,已經有上百種的證明方法被發表了出來。另一個被用許多不同方法證明出來的定理是二次互反律的定理,僅高斯一人就給出了此定理8種不同的證明方法。

香港大學數學系退休副教授丁南僑說:「數學其中一種精神就係簡潔,可以將複雜之事化繁為簡,就係一種美感。好多自然界現象,原來都係由好簡單之數學原理所支配,你會覺得該等事物好似被結晶化,你會覺得好珍惜。」[3]。相反地,若結論是邏輯上正確,但包含有費工的計算、過度複雜的方法、極普通的處理方法或需依靠大量有力的公理或不被認為優美的之前結論,則稱此為「醜陋」或「笨拙」。奧卡姆剃刀之概念亦認為越簡單越好。

結論之美[编辑]

數學家在兩個看似毫不相關的數學領域之中,找到恰當的關聯性并推導出新的結論。這種結論通常被形容為「深奧的」。

因為很難得到「此結論是否為深奧」的共識,某些例子便常被引用來說明。其中一個為歐拉恆等式e + 1 = 0,它被費曼稱為「數學內最著名的公式」。現代的例子則包含有建立起橢圓曲線模形式之間關連性的谷山-志村定理(此結論使安德魯·懷爾斯羅伯特·郎蘭茲得到了沃爾夫獎),和以弦理論接連了怪獸群模函數怪獸月光理查·波傑蒂斯因此得到了菲爾茲獎)。

和「深奧的」相對之為「當然的」。一個當然的定理,是個可以由一個已知結論,經明顯或簡單的方法導出的結論;或者是只應用在如空集合等特定集合的結論。但有時一個定理的敘述亦可因其足夠原始而被認為是深奧的。

體驗之美[编辑]

對於操縱數字符號的一些喜好是從事任何數學相關的研修之必須要件。在科學工程領域使用的數學工具,似乎都會在其技術社會和其科學哲學裡主動地培育出美學

對於大多數的數學家而言,數學之美最強烈的體驗來自於積極地從事數學研究。以純粹被動的方式研修數學,是很難從中得到樂趣的。在數學裡,沒有觀眾及聽眾。

伯特蘭·羅素指這是數學的「樸素之美」。

繪圖之美[编辑]

在座標平面或座標立體上繪製方程式,有時會畫出很美的東西。

另見[编辑]

腳註[编辑]

  1. ^ Russell, Bertrand. The Study of Mathematics. Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman. 1919: 60 [2008-08-22]. 
  2. ^ Devlin, Keith. Do Mathematicians Have Different Brains?. The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip. Basic Books. 2000: 140 [2008-08-22]. ISBN 978-0-465-01619-8. 
  3. ^ http://nextplus.nextmedia.com/news/latest/20170427/504522

參考文獻[编辑]

外部連結[编辑]