斯特灵数

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在組合數學,Stirling數可指兩類數,都是由18世紀數學家James Stirling提出的。

第一類[编辑]

s(4,2)=11

第一類Stirling數是有正負的,其絕對值是個元素的項目分作個環排列的方法數目。常用的表示方法有

換個較生活化的說法,就是有個人分成組,每組內再按特定順序圍圈的分組方法的數目。例如

  1. {A,B},{C,D}
  2. {A,C},{B,D}
  3. {A,D},{B,C}
  4. {A},{B,C,D}
  5. {A},{B,D,C}
  6. {B},{A,C,D}
  7. {B},{A,D,C}
  8. {C},{A,B,D}
  9. {C},{A,D,B}
  10. {D},{A,B,C}
  11. {D},{A,C,B}

這可以用有向圖來表示。


  • 給定,有遞歸關係

递推关系的说明:考虑第n个物品,n可以单独构成一个非空循环排列,这样前n-1种物品构成k-1个非空循环排列,有种方法;也可以前n-1种物品构成k个非空循环排列,而第n个物品插入第i个物品的左边,这有种方法。


調和數的推廣,是遞降階乘多項式的係數:

第二類[编辑]

第二類Stirling數是個元素的集定義k個等價類的方法數目。常用的表示方法有

換個較生活化的說法,就是有個人分成組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成1組,只能所有人在同一組,因此;若所有人分成4組,只能每人獨立一組,因此;若分成2組,可以是甲乙一組、丙丁一組,或甲丙一組、乙丁一組,或甲丁一組、乙丙一組,或其中三人同一組另一人獨立一組,即是:

  1. {A,B},{C,D}
  2. {A,C},{B,D}
  3. {A,D},{B,C}
  4. {A},{B,C,D}
  5. {B},{A,C,D}
  6. {C},{A,B,D}
  7. {D},{A,B,C}

因此


  • 給定,有遞歸關係

递推关系的说明:考虑第n个物品,n可以单独构成一个非空集合,此时前n-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合,有种方法;也可以前n-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合,第n个物品放入任意一个中,这样有种方法。


是二項式係數,貝爾數

兩者關係[编辑]

克羅內克爾δ