# 斯科伦悖论

## 是悖论吗？

Moore（1985）争论说如果这种相对主义完全可以理解，它必须在把它定为直接了当的错误的框架内来理解。它是 Skolem 的悖论。

“在断言 P(w) 是无条件不可数的时候，我们无法理解这个除非作为确然假的断言，它根本不是不可数的。”

## 引证

Zermelo 起初声明 Skolem 悖论是恶作剧。在 1937 年他写了一个标题为《在集合论和所谓的 Skolem 定理中的相对主义》的评论，在其中他反驳了 Skolem 悖论，即事实上 Zermelo-Fraenkel 集合论 -- 保证存在不可数多个集合 -- 却有可数的模型。其他在集合论方面的权威也发现这个结果骇人听闻。

• 現時我們什麼也做不了，除了又記下一個對集合论存疑的理由。目前也不知道使这个理论康复的方法。（冯·诺伊曼[1]
• Skolem 的工作意味著，所謂“集合论（因此包含了几何、算术，和其他使用集合论模型的理论）的絕對公理化”，似乎根本就不存在。（冯·诺伊曼[2]
• 关于悖论的书卷仍未合上，而关于它的意义和可能的解决方案，亦未达成一致意見。（Abraham Fraenkel[3]
• 我相信依据集合的公理化不是令人满意的终极数学基础是很显然的，大部分的数学家们都不是很关心它。但近來我惊奇的发现，如此多的数学家认为集合论的这些公理給数学提供了一個理想的基础；所以我個人覺得，该是时候作出批评了。（Skolem[4]

## 註釋

1. ^ 原文：At present we can do no more than note that we have one more reason here to entertain reservations about set theory and that for the time being no way of rehabilitating this theory is known.
2. ^ 原文：Skolem's work implies "no categorical axiomatisation of set theory (hence geometry, arithmetic [and any other theory with a set-theoretic model]...) seems to exist at all".
3. ^ 原文：Neither have the books yet been closed on the antinomy, nor has agreement on its significance and possible solution yet been reached.
4. ^ 原文：I believed that it was so clear that axiomatization in terms of sets was not a satisfactory ultimate foundation of mathematics that mathematicians would, for the most part, not be very much concerned with it. But in recent times I have seen to my surprise that so many mathematicians think that these axioms of set theory provide the ideal foundation for mathematics; therefore it seemed to me that the time had come for a critique.

## 引用

• van Dalen, Dirk and Heinz-Dieter Ebbinghaus, "Zermelo and the Skolem Paradox", The Bulletin of Symbolic Logic Volume 6, Number 2, June 2000.
• Moore, A.W. "Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus", Analysis 1985, 45.