斯蒂尔吉斯常数

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斯蒂尔吉斯常数,记为\gamma_k,是出现在黎曼ζ函数罗朗级数展开式中的数:

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n

斯蒂尔吉斯常数由以下的极限给出:

 \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left(\left(\sum_{k = 1}^m  \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)}

还有一种积分表示法,可由柯西积分公式推出:

\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

第零个常数\gamma_0 = \gamma = 0.577...称为欧拉-马歇罗尼常数

最初的几个值为:

n γn
0 0.5772156649015328606065120900824024310421
1 -0.072815845483676724860586
2 -0.0096903631928723184845303
3 0.002053834420303345866160
4 0.0023253700654673000574
5 0.0007933238173010627017
6 -0.00023876934543019960986
7 -0.0005272895670577510
8 -0.00035212335380
9 -0.0000343947744
10 0.000205332814909

更一般地,我们可以定义出现在赫尔维茨ζ函数的罗朗级数展开式中的斯蒂尔吉斯常数\gamma_k(q)

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n

在这里,q是一个复数,Re(q)>0。由于赫尔维茨ζ函数是黎曼ζ函数的一个推广,我们有

\gamma_n(1)=\gamma_n\;

参见[编辑]

参考文献[编辑]